উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • DU • ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় ক ইউনিট (বিজ্ঞান) ভর্তি পরীক্ষা ২০২২-২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

যদি acos⁡α+bsin⁡α=acos⁡β+bsin⁡βa \cos \alpha + b \sin \alpha = a \cos \beta + b \sin \beta হয়, তবে দেখাও যে, cos⁡2α+β2−sin⁡2α+β2=a2−b2a2+b2\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2} - \sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা

(4) দেওয়া আছে, acos⁡α+bsin⁡α=acos⁡β+bsin⁡βa\cos\alpha + b\sin\alpha = a\cos\beta + b\sin\beta

বা, a(cos⁡α−cos⁡β)=b(sin⁡β−sin⁡α)a(\cos\alpha - \cos\beta) = b(\sin\beta - \sin\alpha)

বা, a⋅(−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2)=b⋅(−2cos⁡α+β2sin⁡α−β2)a\cdot\left(-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = b\cdot\left(-2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

উভয় পক্ষকে −2sin⁡α−β2-2\sin\frac{\alpha-\beta}{2} দ্বারা ভাগ করে (α≠β\alpha \neq \beta ধরে),

asin⁡α+β2=bcos⁡α+β2a\sin\frac{\alpha+\beta}{2} = b\cos\frac{\alpha+\beta}{2}

বা, tan⁡α+β2=ba\tan\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{b}{a}

এখন, cos⁡2α+β2−sin⁡2α+β2=1−tan⁡2α+β21+tan⁡2α+β2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} - \sin^2\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{1-\tan^2\frac{\alpha+\beta}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha+\beta}{2}}

=1−b2a21+b2a2=a2−b2a2+b2= \frac{1-\frac{b^2}{a^2}}{1+\frac{b^2}{a^2}} = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন