গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধারাটি $5 + 17 + 29 + \cdots$। এখানে প্রথম পদ $a = 5$, সাধারণ অন্তর $d = 17 - 5 = 12$।

   $n$ তম পদ $= a + (n-1)d$।

   $5 + (n-1) \times 12 = 101 \Rightarrow 12(n-1) = 96 \Rightarrow n - 1 = 8 \Rightarrow n = 9$

   সুতরাং, ধারাটির ৯ম পদ ১০১।

2. খ)

   (i) নং ধারাটি $7 + 4 + 1 - 2 - 5 - \cdots$। এখানে $a = 7$, $d = 4 - 7 = -3$।

   শর্তানুসারে যোগফল $-430$ ধরে (কারণ ধনাত্মক ৪৩০ হলে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা $n$ পাওয়া যায় না)।

   $S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n-1)d\} = \frac{n}{2}\{14 - 3(n-1)\} = \frac{n(17 - 3n)}{2}$

   $\frac{n(17 - 3n)}{2} = -430 \Rightarrow 17n - 3n^2 = -860 \Rightarrow 3n^2 - 17n - 860 = 0$

   $n = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 10320}}{6} = \frac{17 \pm 103}{6}$

   $n = 20$ অথবা $n = -\frac{43}{3}$ (গ্রহণযোগ্য নয়)।

   সুতরাং, $n = 20$।

3. গ)

   (ii) নং গুণোত্তর ধারার পাঁচটি পদ: $7,\ x,\ y,\ z,\ 1792$। ধরি, সাধারণ অনুপাত $r$।

   ৫ম পদ $= 7r^4 = 1792 \Rightarrow r^4 = 256 \Rightarrow r = 4$ (ধনাত্মক ধরে)।

   $x = 7 \times 4 = 28$

   $y = 28 \times 4 = 112$

   $z = 112 \times 4 = 448$

   যাচাই: $448 \times 4 = 1792$ ✓

   সুতরাং, $x = 28$, $y = 112$, $z = 448$।

   (সাধারণ অনুপাত $r = -4$ ধরলে $x = -28$, $y = 112$, $z = -448$ হয়।)