গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   দেওয়া আছে, $(2p+q, 5) = (7, q)$

   ক্রমজোড় সমান হলে অনুরূপ উপাদানগুলো সমান। সুতরাং $q = 5$ এবং $2p + q = 7$।

   $2p + 5 = 7$ বা, $2p = 2$ বা, $p = 1$

   অতএব, $(p, q) = (1, 5)$।

2. খ)

   দেওয়া আছে, $x^4 + x^{-4} = 119$

   $(x^2 + x^{-2})^2 = x^4 + x^{-4} + 2 = 121$

   সুতরাং $x^2 + x^{-2} = 11$ (যেহেতু $x^2 + x^{-2} > 0$)

   এখন $(x - x^{-1})^2 = x^2 + x^{-2} - 2 = 11 - 2 = 9$

   বা, $x - \dfrac{1}{x} = 3$ (প্রশ্নের উদ্দিষ্ট ক্ষেত্রে $x > 1$ ধরে)

   বা, $x^2 - 1 = 3x$

   বা, $x^2 - 3x - 1 = 0$ (প্রমাণিত)

   মন্তব্য: শুধু $x > 0$ হলে $x - \frac{1}{x} = -3$ হওয়ারও সুযোগ থাকে, তাই এখানে $x > 1$ ধরা হয়েছে।

3. গ)

   $\dfrac{y^6 + 27}{y^3} = y^3 + \dfrac{27}{y^3} = y^3 + \left(\dfrac{3}{y}\right)^3$

   দেওয়া আছে, $y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$

   তাহলে $\dfrac{1}{y} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3}$

   অতএব, $\dfrac{3}{y} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

   ধরি, $a = y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ এবং $b = \dfrac{3}{y} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

   তাহলে $a + b = 2\sqrt{5}$ এবং $ab = 3$

   $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$

   $= (2\sqrt{5})^3 - 3 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{5}$

   $= 40\sqrt{5} - 18\sqrt{5}$

   $= 22\sqrt{5}$

   অতএব, মান $22\sqrt{5}$।