উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, $n$ সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট কোনো বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = $^nC_2 - n$

   একটি পঞ্চভুজের বাহু বা শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা, $n = 5$

   $\therefore$ পঞ্চভুজটির কর্ণের সংখ্যা = $^5C_2 - 5$
   $= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} - 5$
   $= 10 - 5$
   $= 5$

   উত্তর: ৫ টি।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের শেষ শব্দটি হলো "knowledge"।

   এখানে মোট বর্ণের সংখ্যা $n = 9$
   যার মধ্যে 'e' আছে ২টি এবং বাকি বর্ণগুলো (k, n, o, w, l, d, g) ১টি করে আছে।

   $\therefore$ বর্ণগুলো দ্বারা মোট বিন্যাস সংখ্যা = $\frac{9!}{2!} = \frac{362880}{2} = 181440$

   শব্দটিতে স্বরবর্ণ (Vowels) রয়েছে ৩টি (o, e, e; যার মধ্যে 'e' ২টি)।
   স্বরবর্ণ ৩টিকে একত্রে একটি বর্ণ বিবেচনা করলে মোট বর্ণের সংখ্যা হয় $(9 - 3 + 1) = 7$ টি।
   এই ৭টি বর্ণকে সাজানো যায় $7! = 5040$ উপায়ে।
   আবার, ৩টি স্বরবর্ণের মধ্যে ২টি 'e' থাকায় নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় $\frac{3!}{2!} = 3$ উপায়ে।

   $\therefore$ স্বরবর্ণগুলোকে সর্বদা একত্রে রেখে সাজানো সংখ্যা = $5040 \times 3 = 15120$

   সুতরাং, স্বরবর্ণগুলি একত্রে না রেখে সাজানো সংখ্যা = মোট বিন্যাস সংখ্যা - একত্রে রাখার বিন্যাস সংখ্যা
   $= 181440 - 15120$
   $= 166320$

   উত্তর: ১৬৬৩২০ টি।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের প্রথম শব্দটি হলো "Practice"।

   শব্দটিতে মোট বর্ণের সংখ্যা ৮টি, যার মধ্যে 'c' আছে ২টি এবং বাকি ৬টি বর্ণ (P, r, a, t, i, e) ভিন্ন ভিন্ন। অর্থাৎ মোট ৭টি ভিন্ন ধরনের বর্ণ রয়েছে।

   প্রতিবারে ৪টি করে বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠনের ক্ষেত্রে নিম্নোক্ত দুইটি ক্ষেত্র বিবেচনা করা যায়:

   ১ম ক্ষেত্র (৪টি বর্ণই ভিন্ন):
   ৭টি ভিন্ন বর্ণ থেকে ৪টি বর্ণ নিয়ে গঠিত শব্দ সংখ্যা = $^7P_4$
   $= \frac{7!}{(7 - 4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

   ২য় ক্ষেত্র (২টি একই বর্ণ এবং ২টি ভিন্ন বর্ণ):
   ২টি 'c' নিয়ে এবং অবশিষ্ট ৬টি ভিন্ন বর্ণ থেকে যেকোনো ২টি বর্ণ নির্বাচন করা যায় $^6C_2$ উপায়ে।
   নির্বাচিত ৪টি বর্ণের মধ্যে ২টি বর্ণ একই ('c', 'c') হওয়ায় তাদেরকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় $\frac{4!}{2!}$ উপায়ে।
   $\therefore$ এই ক্ষেত্রে গঠিত শব্দ সংখ্যা = $^6C_2 \times \frac{4!}{2!}$
   $= 15 \times 12 = 180$

   অতএব, প্রতিবারে ৪টি বর্ণ নিয়ে মোট গঠিত শব্দ সংখ্যা = $840 + 180 = 1020$

   উত্তর: ১০২০ টি।