উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: খ-নং প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ত্রুটিযুক্ত রাশি '(t1^2_2_2^2)' এর প্রকৃত রূপ হলো '(t_1^2 - t_2^2)'।

   ধরি, বেগদ্বয় $u$ এবং $v$, যেখানে $u \ge v$।

   আমরা জানি,
   বৃহত্তম লব্ধি $= u + v = 14\text{ m/sec}$ ... (i)
   ক্ষুদ্রতম লব্ধি $= u - v = 2\text{ m/sec}$ ... (ii)

   সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
   $2u = 16 \implies u = 8\text{ m/sec}$

   সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,
   $2v = 12 \implies v = 6\text{ m/sec}$

   অতএব, নির্ণেয় বেগদ্বয় যথাক্রমে $8\text{ m/sec}$ এবং $6\text{ m/sec}$।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: খ-নং প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ত্রুটিযুক্ত রাশি '(t1^2_2_2^2)' এর প্রকৃত রূপ হলো '(t_1^2 - t_2^2)'।

   ধরি, নদীর বিস্তার $d$।
   শান্ত নদীতে সাঁতারুর বেগ $u$ এবং স্রোতের বেগ $v$ (যেখানে $u > v$)।

   ১ম ক্ষেত্রে:
   নদীটি সোজাসুজি (তীরের সাথে লম্বভাবে) পার হতে হলে সাঁতারুর লব্ধি বেগ তীরের সাথে $90^\circ$ কোণে থাকতে হবে।
   অতএব, লব্ধি বেগ $w = \sqrt{u^2 - v^2}$
   সোজাসুজি পার হতে সময়,
   $t_1 = \frac{d}{\sqrt{u^2 - v^2}}$
   $\implies t_1^2 = \frac{d^2}{u^2 - v^2}$ ... (i)

   ২য় ক্ষেত্রে:
   স্রোতের অনুকূলে তীর বরাবর একই দূরত্ব $d$ অতিক্রম করতে কার্যকরী বেগ $= u + v$
   এক্ষেত্রে সময়,
   $t_2 = \frac{d}{u + v}$
   $\implies t_2^2 = \frac{d^2}{(u + v)^2}$ ... (ii)

   সমীকরণ (i) কে (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{t_1^2}{t_2^2} = \frac{\frac{d^2}{u^2 - v^2}}{\frac{d^2}{(u + v)^2}} = \frac{(u + v)^2}{u^2 - v^2} = \frac{(u + v)^2}{(u + v)(u - v)} = \frac{u + v}{u - v}$

   বা, $\frac{u + v}{u - v} = \frac{t_1^2}{t_2^2}$

   যোজন-বিয়োজন করে পাই,
   $\frac{(u + v) + (u - v)}{(u + v) - (u - v)} = \frac{t_1^2 + t_2^2}{t_1^2 - t_2^2}$
   $\implies \frac{2u}{2v} = \frac{t_1^2 + t_2^2}{t_1^2 - t_2^2}$
   $\implies \frac{u}{v} = \frac{t_1^2 + t_2^2}{t_1^2 - t_2^2}$

   $\therefore u : v = (t_1^2 + t_2^2) : (t_1^2 - t_2^2)$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: খ-নং প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ত্রুটিযুক্ত রাশি '(t1^2_2_2^2)' এর প্রকৃত রূপ হলো '(t_1^2 - t_2^2)'।

   দৃশ্যকল্প-২ এর চিত্রানুযায়ী,
   প্রক্ষেপণ কোণ, $\alpha = 30^\circ$
   সর্বোচ্চ উচ্চতা, $h = 2.45\text{ m}$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ m/s}^2$

   আমরা জানি, প্রক্ষেপকের অনুভূমিক পাল্লা $R = OA$ এবং সর্বোচ্চ উচ্চতা $h$ এর মধ্যে সম্পর্ক:
   $R = 4h \cot\alpha$

   বা বিকল্পভাবে,
   $h = \frac{u^2 \sin^2\alpha}{2g}$
   $\implies 2.45 = \frac{u^2 \sin^2 30^\circ}{2 \times 9.8} = \frac{u^2 \times (0.5)^2}{19.6} = \frac{0.25 u^2}{19.6}$
   $\implies u^2 = \frac{2.45 \times 19.6}{0.25} = \frac{48.02}{0.25} = 192.08\text{ m}^2/\text{s}^2$

   অতএব, কণাটির অনুভূমিক পাল্লা $OA$ হলো:
   $OA = R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$
   $\implies OA = \frac{192.08 \times \sin(2 \times 30^\circ)}{9.8}$
   $\implies OA = \frac{192.08 \times \sin 60^\circ}{9.8} = \frac{192.08 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.8}$
   $\implies OA = \frac{96.04 \times \sqrt{3}}{9.8} = 9.8\sqrt{3}\text{ m} \approx 16.97\text{ m}$

   অতএব, $OA$ এর মান $9.8\sqrt{3}\text{ m}$ বা প্রায় $16.97\text{ m}$।