উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $y^2 - 2x^2 = 2$
   $\Rightarrow \frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{1} = 1$

   সমীকরণটিকে $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,
   $b^2 = 2$ এবং $a^2 = 1$

   অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

   উত্তর: $\sqrt{\frac{3}{2}}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র (দৃশ্যকল্প-১) হতে পাই,
   উপবৃত্তটির কেন্দ্র মূলবিন্দু $O(0, 0)$ এবং উপকেন্দ্রদ্বয় $S(2, 0)$ ও $S'(-2, 0)$।
   যেহেতু উপকেন্দ্রদ্বয় $x$-অক্ষে অবস্থিত, তাই প্রধান অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর।

   বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য, $AA' = 2a = 8$
   $\Rightarrow a = 4$

   উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $SS' = 2ae = 2 - (-2) = 4$
   $\Rightarrow ae = 2$
   $\Rightarrow e = \frac{2}{a} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

   এখন ক্ষুদ্রাক্ষের অর্ধদৈর্ঘ্য $b$ হলে,
   $b^2 = a^2(1 - e^2) = 4^2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) = 16 \left(1 - \frac{1}{4}\right) = 16 \times \frac{3}{4} = 12$

   অতএব, উপবৃত্তটির সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
   $\Rightarrow \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$
   $\Rightarrow 3x^2 + 4y^2 = 48$

   উত্তর: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ বা $3x^2 + 4y^2 = 48$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে,
   অধিবৃত্তটির উপকেন্দ্রদ্বয় $S(2, 3)$ এবং $S'(-2, 3)$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{3}$।

   অধিবৃত্তের কেন্দ্র $C$ হবে উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবিন্দু:
   $C\left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{3 + 3}{2}\right) = (0, 3)$

   যেহেতু উপকেন্দ্রদ্বয়ের কোটি একই ($y = 3$), তাই অধিবৃত্তটির আড় অক্ষ (transverse axis) $x$-অক্ষের সমান্তরাল।
   উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব:
   $2ae = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - 3)^2} = 4$
   $\Rightarrow ae = 2$
   $\Rightarrow a = \frac{2}{e} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
   $\Rightarrow a^2 = \frac{4}{3}$

   অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে,
   $b^2 = a^2(e^2 - 1) = \frac{4}{3} ((\sqrt{3})^2 - 1) = \frac{4}{3} (3 - 1) = \frac{8}{3}$

   অতএব, অধিবৃত্তটির নির্ণেয় সমীকরণ:
   $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$
   $\Rightarrow \frac{(x - 0)^2}{\frac{4}{3}} - \frac{(y - 3)^2}{\frac{8}{3}} = 1$
   $\Rightarrow \frac{3x^2}{4} - \frac{3(y - 3)^2}{8} = 1$
   $\Rightarrow 6x^2 - 3(y - 3)^2 = 8$
   $\Rightarrow 6x^2 - 3(y^2 - 6y + 9) = 8$
   $\Rightarrow 6x^2 - 3y^2 + 18y - 35 = 0$

   উত্তর: $6x^2 - 3(y - 3)^2 = 8$ বা $6x^2 - 3y^2 + 18y - 35 = 0$