উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২৩
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
উদ্দীপক-১ : x=(a+bω+cω2),y=(a+bω2+cω)x=\left(a+b \omega+c \omega^{2}\right), \quad y=\left(a+b \omega^{2}+c \omega\right)
উদ্দীপক-২ : 7+i8=(p+iq)37+i 8=(p+i q)^{3}
- ক)(2)
এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল ω\omega হলে, দেখাও যে, (1+ω+3ω)6=64\left(1+\omega+\frac{3}{\omega}\right)^{6}=64
- খ)(4)
উদ্দীপক-১ এর সাহায্যে যদি x3+y3=0x^{3}+y^{3}=0 হয়, তবে দেখাও যে, b=12(c+a)b=\frac{1}{2}(c+a)
- গ)(4)
উদ্দীপক-২ এর সাহায্যে প্রমাণ কর যে, p2−q2=74p+2qp^{2}- q^{2}=\frac{7}{4 p}+\frac{2}{q}
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: উচ্চ মাধ্যমিক (HSC) পরীক্ষার উচ্চতর গণিতে সৃজনশীল প্রশ্নে তিনটি অংশ (ক, খ, গ) থাকে। প্রশ্নপত্রে 'ঘ' অংশটি ভুলবশত 'null' হিসেবে সংযোজিত হয়েছে।
বামপক্ষ = (1 + ω + 3/ω)⁶
= {1 + ω + 3(ω²/ω³)}⁶
= (1 + ω + 3ω²)⁶ [∵ ω³ = 1]
= (-ω² + 3ω²)⁶ [∵ 1 + ω + ω² = 0 ⇒ 1 + ω = -ω²]
= (2ω²)⁶
= 64 · ω¹²
= 64 · (ω³)⁴
= 64 · 1 = 64 = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)। - খ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: উচ্চ মাধ্যমিক (HSC) পরীক্ষার উচ্চতর গণিতে সৃজনশীল প্রশ্নে তিনটি অংশ (ক, খ, গ) থাকে। প্রশ্নপত্রে 'ঘ' অংশটি ভুলবশত 'null' হিসেবে সংযোজিত হয়েছে।
উদ্দীপক-১ থেকে,
x = a + bω + cω²
y = a + bω² + cωআমরা জানি,
x³ + y³ = (x + y)(x + ωy)(x + ω²y)এখন,
x + ω²y = (a + bω + cω²) + ω²(a + bω² + cω)
= a + bω + cω² + aω² + bω⁴ + cω³
= a(1 + ω²) + b(ω + ω) + c(ω² + 1) [∵ ω⁴ = ω এবং ω³ = 1]
= -aω + 2bω - cω [∵ 1 + ω² = -ω]
= (2b - a - c)ωযেহেতু x³ + y³ = 0,
বা, (x + y)(x + ωy)(x + ω²y) = 0
সুতরাং, x + ω²y = 0 বিবেচনা করে পাই:
(2b - a - c)ω = 0
যেহেতু ω ≠ 0, সুতরাং 2b - a - c = 0
⇒ 2b = c + a
⇒ b = ½(c + a) (দেখানো হলো)। - গ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: উচ্চ মাধ্যমিক (HSC) পরীক্ষার উচ্চতর গণিতে সৃজনশীল প্রশ্নে তিনটি অংশ (ক, খ, গ) থাকে। প্রশ্নপত্রে 'ঘ' অংশটি ভুলবশত 'null' হিসেবে সংযোজিত হয়েছে।
উদ্দীপক-২ থেকে,
(p + iq)³ = 7 + 8i
বা, p³ + 3p²(iq) + 3p(iq)² + (iq)³ = 7 + 8i
বা, p³ + 3ip²q - 3pq² - iq³ = 7 + 8i
বা, (p³ - 3pq²) + i(3p²q - q³) = 7 + 8iউভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই:
p³ - 3pq² = 7 ⇒ p(p² - 3q²) = 7 ⇒ p² - 3q² = 7/p ... (i)
3p²q - q³ = 8 ⇒ q(3p² - q²) = 8 ⇒ 3p² - q² = 8/q ... (ii)এখন, ডানপক্ষ = 7/(4p) + 2/q
= ¼ · (7/p) + ¼ · (8/q)
= ¼(p² - 3q²) + ¼(3p² - q²) [(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে মান বসিয়ে]
= ¼(p² - 3q² + 3p² - q²)
= ¼(4p² - 4q²)
= p² - q² = বামপক্ষ (প্রমাণিত)।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও