উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: Standard gravitational acceleration values: g = 32 ft/s^2 for FPS units and g = 9.8 m/s^2 for SI units.

   ধরি, পাথর ফেলার সময় বেলুনের উচ্চতা ছিল $h$।

   এখানে,
   পাথরের খাড়া ঊর্ধ্বমুখী আদিবেগ, $u = 5\text{ ft/s}$
   পতনকাল, $t = 10\text{ s}$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 32\text{ ft/s}^2$

   গতির সমীকরণ হতে পাই,
   $h = -ut + \frac{1}{2}gt^2$
   $\implies h = -(5)(10) + \frac{1}{2}(32)(10)^2$
   $\implies h = -50 + 1600$
   $\implies h = 1550\text{ ft}$

   অতএব, পাথর ফেলার সময় বেলুনের উচ্চতা ছিল $1550\text{ ft}$।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: Standard gravitational acceleration values: g = 32 ft/s^2 for FPS units and g = 9.8 m/s^2 for SI units.

   ধরি, টাওয়ারের উচ্চতা $h$ মিটার।

   প্রথম পাথরটি স্থিরাবস্থা থেকে ফেলা হয়। এটি $2\text{ m}$ নিচে নামতে প্রয়োজনীয় সময় $t_1$ হলে,
   $2 = 0 + \frac{1}{2}gt_1^2 \implies t_1^2 = \frac{4}{g} \implies t_1 = \frac{2}{\sqrt{g}}\text{ s}$

   টাওয়ারের শীর্ষ হতে ভূমি পর্যন্ত সম্পূর্ণ $h$ মিটার পতনের জন্য প্রথম পাথরের সময়:
   $T_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

   দ্বিতীয় পাথরটি শীর্ষ হতে $8\text{ m}$ নিচে অর্থাৎ ভূমি থেকে $(h-8)\text{ m}$ উচ্চতা থেকে স্থিরাবস্থা হতে ফেলা হয়।
   দ্বিতীয় পাথরটির ভূমিতে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময়:
   $T_2 = \sqrt{\frac{2(h-8)}{g}}$

   শর্তানুসারে, উভয় পাথর একই সাথে ভূমিতে পৌঁছায়।
   অতএব,
   $T_1 = t_1 + T_2$
   $\implies \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{2}{\sqrt{g}} + \sqrt{\frac{2(h-8)}{g}}$
   $\implies \sqrt{2h} - \sqrt{2(h-8)} = 2$
   $\implies \sqrt{2h} - 2 = \sqrt{2h - 16}$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $2h - 4\sqrt{2h} + 4 = 2h - 16$
   $\implies 4\sqrt{2h} = 20$
   $\implies \sqrt{2h} = 5$
   $\implies 2h = 25$
   $\implies h = 12.5\text{ m}$

   অতএব, টাওয়ারের উচ্চতা $12.5\text{ m}$।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: Standard gravitational acceleration values: g = 32 ft/s^2 for FPS units and g = 9.8 m/s^2 for SI units.

   দৃশ্যকল্প-২ এর চিত্র হতে,
   প্রক্ষেপণ কোণ, $\alpha = 30^\circ$
   সর্বাধিক উচ্চতা, $H = 10\text{ m}$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ ms}^{-2}$

   আমরা জানি, $H = \frac{u^2 \sin^2\alpha}{2g}$
   $\implies 10 = \frac{u^2 \sin^2 30^\circ}{2 \times 9.8}$
   $\implies 10 = \frac{u^2 \cdot (1/4)}{19.6}$
   $\implies u^2 = 10 \times 19.6 \times 4 = 784$
   $\implies u = 28\text{ ms}^{-1}$

   (i) অনুভূমিক পাল্লা ($R$):
   $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$
   $\implies R = \frac{784 \times \sin(2 \times 30^\circ)}{9.8} = \frac{784 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.8} = 40\sqrt{3}\text{ m} \approx 69.28\text{ m}$

   (ii) বিচরণকাল ($T$):
   $T = \frac{2u \sin\alpha}{g}$
   $\implies T = \frac{2 \times 28 \times \sin 30^\circ}{9.8} = \frac{28}{9.8} = \frac{20}{7}\text{ s} \approx 2.86\text{ s}$

   অতএব, প্রক্ষেপকটির পাল্লা $40\sqrt{3}\text{ m}$ (বা $69.28\text{ m}$) এবং বিচরণকাল $\frac{20}{7}\text{ s}$ (বা $2.86\text{ s}$)।