উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$
   $= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3}$
   $= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$
   $= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \cdot 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^3 \cos x}$
   $= \lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{2}{\cos x} \cdot \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 \cdot \frac{1}{4}$
   $= 1 \cdot \frac{2}{1} \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(u) = \sin^{-1}u$
   $\therefore y = \{f(2x)\}^2 = (\sin^{-1}(2x))^2$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_1 = 2\sin^{-1}(2x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(2x)) = 2\sin^{-1}(2x) \cdot \frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{4\sin^{-1}(2x)}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

   বর্গ করে পাই,
   $y_1^2 = \frac{16(\sin^{-1}(2x))^2}{1 - 4x^2}$
   $\implies (1 - 4x^2)y_1^2 = 16y$

   পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $(1 - 4x^2) \cdot 2y_1 y_2 + y_1^2(-8x) = 16 y_1$

   উভয়পক্ষকে $2y_1$ দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু $y_1 \ne 0$),
   $(1 - 4x^2)y_2 - 4xy_1 = 8$
   $\implies (1 - 4x^2)y_2 - 4xy_1 - 8 = 0$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(u) = \frac{u}{1 + \cos^2 u}$
   ধরি, $I = \int_{0}^{\pi} g(x)\,dx = \int_{0}^{\pi} \frac{x}{1 + \cos^2 x}\,dx$ ..... (1)

   আমরা জানি, নির্দিষ্ট যোগজের ধর্ম অনুসারে, $\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a - x)\,dx$
   $\therefore I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi - x}{1 + \cos^2(\pi - x)}\,dx$
   যেহেতু $\cos(\pi - x) = -\cos x$, তাই $\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x$।
   $\implies I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi - x}{1 + \cos^2 x}\,dx$ ..... (2)

   সমীকরণ (1) ও (2) যোগ করে পাই,
   $2I = \int_{0}^{\pi} \frac{x + \pi - x}{1 + \cos^2 x}\,dx = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1 + \cos^2 x}\,dx$

   যেহেতু $f(x) = \frac{1}{1 + \cos^2 x}$ একটি প্রতিসম অপেক্ষক এবং $f(\pi - x) = f(x)$,
   $\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{1 + \cos^2 x} = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + \cos^2 x}$
   $\implies 2I = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + \cos^2 x}$
   $\implies I = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + \cos^2 x}$

   লব ও হরকে $\cos^2 x$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $I = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 x}{\sec^2 x + 1}\,dx = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 x}{1 + \tan^2 x + 1}\,dx = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 x}{\tan^2 x + 2}\,dx$

   ধরি, $z = \tan x \implies dz = \sec^2 x\,dx$
   সীমা পরিবর্তন:
   যখন $x = 0$, $z = 0$
   যখন $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$, $z \rightarrow \infty$

   $\therefore I = \pi \int_{0}^{\infty} \frac{dz}{z^2 + (\sqrt{2})^2} = \pi \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right) \right]_0^\infty$
   $= \frac{\pi}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi^2}{2\sqrt{2}}$ (Ans.)