পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো গতিশীল কণার অবস্থানের পরিবর্তনকে যে ভেক্টর দ্বারা নির্দেশ করা হয়, তাকে সরণ ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না।

   যদি $\vec{P}$ এবং $\vec{Q}$ দুটি ভেক্টর হয় এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হয়, তবে ভেক্টর গুণনের সংজ্ঞানুযায়ী,
   $\vec{P} \times \vec{Q} = (PQ \sin\theta) \hat{\eta}$
   যেখানে $\hat{\eta}$ হলো ডানহাতের নিয়ম অনুসারে তলের ওপর একটি লম্ব একক ভেক্টর।

   অপরদিকে ভেক্টরদ্বয়ের ক্রম পরিবর্তন করলে,
   $\vec{Q} \times \vec{P} = (QP \sin\theta)(-\hat{\eta}) = -(PQ \sin\theta) \hat{\eta} = -(\vec{P} \times \vec{Q})$

   যেহেতু $\vec{P} \times \vec{Q} \neq \vec{Q} \times \vec{P}$, তাই ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{OA} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$
   B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{OB} = 4\hat{i} - 5\hat{j} + \hat{k}$

   অতএব, $\vec{AB}$ ভেক্টরটি হলো:
   $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$
   $= (4\hat{i} - 5\hat{j} + \hat{k}) - (3\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})$
   $= (4 - 3)\hat{i} + (-5 - 3)\hat{j} + (1 - 1)\hat{k}$
   $= \hat{i} - 8\hat{j}$

   $\vec{AB}$ ভেক্টরের মান:
   $|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + (-8)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$

   অতএব, $\vec{AB}$ এর সমান্তরাল একক ভেক্টর:
   $\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} = \pm \frac{\hat{i} - 8\hat{j}}{\sqrt{65}}$

   উত্তর: $\pm \frac{\hat{i} - 8\hat{j}}{\sqrt{65}}$ (অথবা $\vec{AB}$ অভিমুখে একক ভেক্টর $\frac{\hat{i} - 8\hat{j}}{\sqrt{65}}$)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ত্রিভুজ $\triangle OAB$ এর শীর্ষবিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক:
   $O(0, 0, 0)$, $A(3, 3, 1)$ এবং $B(4, -5, 1)$।

   ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের বর্গ নির্ণয় করি:
   $OA^2 = (3 - 0)^2 + (3 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = 3^2 + 3^2 + 1^2 = 9 + 9 + 1 = 19$
   $OB^2 = (4 - 0)^2 + (-5 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = 4^2 + (-5)^2 + 1^2 = 16 + 25 + 1 = 42$
   $AB^2 = (4 - 3)^2 + (-5 - 3)^2 + (1 - 1)^2 = 1^2 + (-8)^2 + 0^2 = 1 + 64 = 65$

   এখানে বাহু তিনটির মধ্যে বৃহত্তম বাহু হলো $AB$, যার বর্গের মান $AB^2 = 65$।
   অপর দুই বাহুর বর্গের যোগফল:
   $OA^2 + OB^2 = 19 + 42 = 61$

   যেহেতু $OA^2 + OB^2 \neq AB^2$ (অর্থাৎ $61 \neq 65$), তাই পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি সিদ্ধ হয় না।

   বিকল্পভাবে ভেক্টর ডট গুণনের মাধ্যমে:
   $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = (3)(4) + (3)(-5) + (1)(1) = 12 - 15 + 1 = -2 \neq 0$
   $\vec{OA} \cdot \vec{AB} = (3)(1) + (3)(-8) + (1)(0) = 3 - 24 = -21 \neq 0$
   $\vec{OB} \cdot \vec{AB} = (4)(1) + (-5)(-8) + (1)(0) = 4 + 40 = 44 \neq 0$
   যেহেতু কোনো দুটি বাহু পরস্পর লম্ব নয়, তাই কোনো কোণই সমকোণ নয়।

   সুতরাং, O, A ও B বিন্দুসমূহের সংযোগে গঠিত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।