উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে প্রদত্ত কেন্দ্রটি পোলার স্থানাঙ্ক হিসেবে চিহ্নিত করা হয়েছে; সমাধানের সুবিধার জন্য পোলার এবং কার্তেসীয় উভয় রূপ দেখানো হয়েছে। | খ অংশে স্পর্শক দুটি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল হওয়ায় তারা এককভাবে ত্রিভুজ গঠন করে না; অক্ষদ্বয় ও স্পর্শকদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ আয়তক্ষেত্র (এবং তার বিভক্ত ত্রিভুজ) ব্যাখ্যা করে সম্পূর্ণ সমাধান প্রদান করা হয়েছে।

   বৃত্তের কেন্দ্র পোলার স্থানাঙ্কে $(r_0, \theta_0) = \left(3, \frac{\pi}{6}\right)$ এবং ব্যাসার্ধ $a = \frac{3}{2}$ একক।

   পোলার স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণ:
   $r^2 - 2rr_0\cos(\theta - \theta_0) + r_0^2 = a^2$
   $\implies r^2 - 2 \cdot 3 \cdot r \cos\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) + 3^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2$
   $\implies r^2 - 6r\cos\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) + 9 = \frac{9}{4}$
   $\implies r^2 - 6r\cos\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{27}{4} = 0$
   $\implies 4r^2 - 24r\cos\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) + 27 = 0$

   [বিকল্প কার্তেসীয় রূপ: কেন্দ্র $(x_0, y_0) = \left(3\cos\frac{\pi}{6}, 3\sin\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$
   বৃত্তের সমীকরণ: $\left(x - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2$
   $\implies x^2 + y^2 - 3\sqrt{3}x - 3y + \frac{27}{4} = 0$
   $\implies 4(x^2 + y^2) - 12\sqrt{3}x - 12y + 27 = 0$]

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে প্রদত্ত কেন্দ্রটি পোলার স্থানাঙ্ক হিসেবে চিহ্নিত করা হয়েছে; সমাধানের সুবিধার জন্য পোলার এবং কার্তেসীয় উভয় রূপ দেখানো হয়েছে। | খ অংশে স্পর্শক দুটি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল হওয়ায় তারা এককভাবে ত্রিভুজ গঠন করে না; অক্ষদ্বয় ও স্পর্শকদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ আয়তক্ষেত্র (এবং তার বিভক্ত ত্রিভুজ) ব্যাখ্যা করে সম্পূর্ণ সমাধান প্রদান করা হয়েছে।

   উদ্দীপক হতে, $c_1$ কেন্দ্রবিশিষ্ট প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র $C_1(-3, -1)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = 2$ একক।
   বৃত্তটির সমীকরণ: $(x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 2^2 \implies x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6 = 0$

   $(-1, -3)$ বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ:
   $y - (-3) = m(x - (-1)) \implies y + 3 = m(x + 1) \implies mx - y + (m - 3) = 0$

   রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক হলে, কেন্দ্র $(-3, -1)$ হতে এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে:
   $\frac{|m(-3) - (-1) + m - 3|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$
   $\implies \frac{|-2m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
   $\implies \frac{2|m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2 \implies |m + 1| = \sqrt{m^2 + 1}$
   উভয়পাশে বর্গ করে:
   $(m + 1)^2 = m^2 + 1 \implies m^2 + 2m + 1 = m^2 + 1 \implies 2m = 0 \implies m = 0$

   একটি স্পর্শকের সমীকরণ: $0 \cdot x - y + (0 - 3) = 0 \implies y = -3$
   অপর স্পর্শকের ঢাল অসীম ($m \to \infty$), অর্থাৎ স্পর্শকটি উল্লম্ব রেখা: $x = -1$
   [যা যাচাইযোগ্য: $(-3, -1)$ থেকে $x = -1$ এর লম্ব দূরত্ব $|-3 - (-1)| = 2 = r$]

   যেহেতু স্পর্শক দুটি যথাক্রমে $x = -1$ (y-অক্ষের সমান্তরাল) এবং $y = -3$ (x-অক্ষের সমান্তরাল), এদের কোনো একক স্পর্শক উভয় অক্ষকে ছেদ করে কোনো ত্রিভুজ গঠন করে না।
   তবে স্পর্শকদ্বয় ($x = -1, y = -3$) এবং স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় ($x = 0, y = 0$) দ্বারা গঠিত আবদ্ধ ক্ষেত্রটি একটি আয়তক্ষেত্র, যার শীর্ষবিন্দুসমূহ $(0, 0), (-1, 0), (-1, -3), (0, -3)$।
   সুতরাং গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $|-1| \times |-3| = 3$ বর্গ একক।
   (উক্ত আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বারা বিভক্ত যে কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 1 \times 3 = \frac{3}{2}$ বা $1.5$ বর্গ একক)।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে প্রদত্ত কেন্দ্রটি পোলার স্থানাঙ্ক হিসেবে চিহ্নিত করা হয়েছে; সমাধানের সুবিধার জন্য পোলার এবং কার্তেসীয় উভয় রূপ দেখানো হয়েছে। | খ অংশে স্পর্শক দুটি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল হওয়ায় তারা এককভাবে ত্রিভুজ গঠন করে না; অক্ষদ্বয় ও স্পর্শকদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ আয়তক্ষেত্র (এবং তার বিভক্ত ত্রিভুজ) ব্যাখ্যা করে সম্পূর্ণ সমাধান প্রদান করা হয়েছে।

   চিত্র হতে,
   প্রথম বৃত্ত $S_1$: কেন্দ্র $(-3, -1)$ এবং ব্যাসার্ধ $r_1 = 2$
   $S_1 \equiv (x + 3)^2 + (y + 1)^2 - 2^2 = 0 \implies x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6 = 0$

   দ্বিতীয় বৃত্ত $S_2$: কেন্দ্র $\left(-4, -\frac{1}{2}\right)$ এবং ব্যাসার্ধ $r_2 = \frac{5}{2}$
   $S_2 \equiv (x + 4)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 0$
   $\implies x^2 + 8x + 16 + y^2 + y + \frac{1}{4} - \frac{25}{4} = 0$
   $\implies S_2 \equiv x^2 + y^2 + 8x + y + 10 = 0$

   বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা $AB$-এর সমীকরণ:
   $S_1 - S_2 = 0$
   $\implies (x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6) - (x^2 + y^2 + 8x + y + 10) = 0$
   $\implies -2x + y - 4 = 0 \implies 2x - y + 4 = 0 \quad \text{--- (i)}$

   $S_1 = 0$ বৃত্ত এবং $AB$ জ্যা-এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো বৃত্তের সমীকরণ:
   $S_1 + k(2x - y + 4) = 0$
   $\implies x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6 + k(2x - y + 4) = 0$
   $\implies x^2 + y^2 + 2(3 + k)x + 2\left(1 - \frac{k}{2}\right)y + (6 + 4k) = 0 \quad \text{--- (ii)}$

   এই বৃত্তের কেন্দ্র: $\left(-(3 + k), -\left(1 - \frac{k}{2}\right)\right) = \left(-3 - k, \frac{k}{2} - 1\right)$

   যেহেতু $AB$ উক্ত বৃত্তের ব্যাস, তাই বৃত্তটির কেন্দ্র (i) নং রেখা $AB$-এর উপর অবস্থিত হবে:
   $2(-3 - k) - \left(\frac{k}{2} - 1\right) + 4 = 0$
   $\implies -6 - 2k - \frac{k}{2} + 1 + 4 = 0$
   $\implies -\frac{5k}{2} - 1 = 0 \implies k = -\frac{2}{5}$

   $k$-এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   $x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6 - \frac{2}{5}(2x - y + 4) = 0$
   $\implies 5(x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6) - 2(2x - y + 4) = 0$
   $\implies 5x^2 + 5y^2 + 30x + 10y + 30 - 4x + 2y - 8 = 0$
   $\implies 5x^2 + 5y^2 + 26x + 12y + 22 = 0$

   নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: $5x^2 + 5y^2 + 26x + 12y + 22 = 0$ বা $x^2 + y^2 + \frac{26}{5}x + \frac{12}{5}y + \frac{22}{5} = 0$।