গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 8x - 2y + 4 = 0$
রেখার সমীকরণ: $3x + ky - 1 = 0$

বৃত্তটির সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই,
$g = -4, f = -1, c = 4$
অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র, $(h, k') = (-g, -f) = (4, 1)$
এবং ব্যাসার্ধ, $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 - 4} = \sqrt{16 + 1 - 4} = \sqrt{13}$

যেহেতু প্রদত্ত রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক, সুতরাং বৃত্তের কেন্দ্র $(4, 1)$ থেকে $3x + ky - 1 = 0$ সরলরেখার লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে।

$\therefore \frac{|3 \cdot 4 + k \cdot 1 - 1|}{\sqrt{3^2 + k^2}} = \sqrt{13}$
$\implies \frac{|k + 11|}{\sqrt{9 + k^2}} = \sqrt{13}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$\frac{(k + 11)^2}{9 + k^2} = 13$
$\implies k^2 + 22k + 121 = 13(9 + k^2)$
$\implies k^2 + 22k + 121 = 117 + 13k^2$
$\implies 12k^2 - 22k - 4 = 0$
$\implies 6k^2 - 11k - 2 = 0$
$\implies 6k^2 - 12k + k - 2 = 0$
$\implies 6k(k - 2) + 1(k - 2) = 0$
$\implies (k - 2)(6k + 1) = 0$

$\therefore k = 2$ অথবা $k = -\frac{1}{6}$

উত্তর: $k = 2$ অথবা $-\frac{1}{6}$