উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২
উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন
A(1,1) \mathrm{A}(1,1) বিন্দুটি x2+y2+4x+6y−12=0 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+4 \mathrm{x}+6 \mathrm{y}-12=0 বৃত্তের উপর অবস্থিত। রেখাত্রয়ের সমীকরণ x=0,y=0,x=a \mathrm{x}=0, \mathrm{y}=0, \mathrm{x}=\mathrm{a} .
- ক)(2)
যদি x2+y2−4x−6y+c=0 x^{2}+y^{2}-4 x-6 y+c=0 বৃত্তটি x x -অক্ষকে স্পর্শ করে তবে c c এর মান নির্ণয় কর।
- খ)(4)
A বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। A বিন্দুগামী বৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণও নির্ণয় কর।
- গ)(4)
উদ্দীপকে প্রদত্ত রেখাত্রয়কে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
বৃত্তটির সমীকরণ: x² + y² - 4x - 6y + c = 0
এখানে, 2g = -4 => g = -2 এবং 2f = -6 => f = -3।
বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করলে শর্ত হলো: g² = c
বা, (-2)² = c
সুতরাং, c = 4। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে বৃত্তের সমীকরণ: x² + y² + 4x + 6y - 12 = 0
বৃত্তটির কেন্দ্র C = (-g, -f) = (-2, -3)।
ব্যাসটির একটি প্রান্ত A(1, 1) এবং অপর প্রান্ত B(x₁, y₁) হলে, C হবে AB এর মধ্যবিন্দু।
অতএব, (1 + x₁)/2 = -2 => 1 + x₁ = -4 => x₁ = -5
এবং (1 + y₁)/2 = -3 => 1 + y₁ = -6 => y₁ = -7
সুতরাং অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক (-5, -7)।A(1, 1) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0
=> x(1) + y(1) + 2(x + 1) + 3(y + 1) - 12 = 0
=> x + y + 2x + 2 + 3y + 3 - 12 = 0
=> 3x + 4y - 7 = 0। - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রদত্ত রেখাত্রয়: x = 0 (y-অক্ষ), y = 0 (x-অক্ষ) এবং x = a।
বৃত্তটি x = 0 এবং x = a উভয় সমান্তরাল রেখাকে স্পর্শ করে, ফলে বৃত্তটির ব্যাস হবে এই দুই রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব অর্থাৎ |a|।
অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = |a|/2 = a/2 (যদি a > 0 বিবেচনা করা হয়)।
বৃত্তটি x = 0 এবং x = a এর মধ্যে অবস্থিত হওয়ায় কেন্দ্রের x-স্থানাঙ্ক = a/2।
বৃত্তটি x-অক্ষ (y = 0) কেও স্পর্শ করে, সুতরাং কেন্দ্রের y-স্থানাঙ্কের পরম মান হবে ব্যাসার্ধের সমান, অর্থাৎ k = ± r = ± a/2।
অতএব, কেন্দ্র (a/2, ±a/2) এবং ব্যাসার্ধ a/2।
সুতরাং নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
(x - a/2)² + (y ∓ a/2)² = (a/2)²
=> x² - ax + a²/4 + y² ∓ ay + a²/4 = a²/4
=> x² + y² - ax ∓ ay + a²/4 = 0
বা, 4(x² + y²) - 4ax ∓ 4ay + a² = 0।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও