উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: P=cos⁡−1(x3),Q=cos⁡−1(y2)P = \cos^{-1} \left(\frac{x}{3}\right), Q = \cos^{-1} \left(\frac{y}{2}\right)
দৃশ্যকল্প-২: f(x)=sin⁡x.f(x) = \sin x.

  1. ক)

    cos⁡2(sin⁡−113)−sin⁡2(cos⁡−112)\cos^2 \left(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \sin^2 \left(\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}\right) এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এ P+Q=θP + Q = \theta হলে, প্রমাণ কর যে, 4x2−12xycos⁡θ+9y2=36sin⁡2θ4x^2 - 12xy \cos \theta + 9y^2 = 36 \sin^2 \theta.

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এ (0,2π)(0, 2\pi) ব্যবধিতে f(x)+f(2x)+f(3x)=1+f(π2−x)+f(π2−2x)f(x) + f(2x) + f(3x) = 1 + f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + f\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) সমীকরণটির সমাধান কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত রাশি = cos²(sin⁻¹(1/√3)) - sin²(cos⁻¹(1/√2))

    আমরা জানি, cos²θ = 1 - sin²θ এবং sin²θ = 1 - cos²θ

    অতএব,
    cos²(sin⁻¹(1/√3)) = 1 - sin²(sin⁻¹(1/√3)) = 1 - (1/√3)² = 1 - 1/3 = 2/3
    sin²(cos⁻¹(1/√2)) = 1 - cos²(cos⁻¹(1/√2)) = 1 - (1/√2)² = 1 - 1/2 = 1/2

    সুতরাং,
    প্রদত্ত রাশি = 2/3 - 1/2 = (4 - 3) / 6 = 1/6

    উত্তর: 1/6

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, P = cos⁻¹(x/3) এবং Q = cos⁻¹(y/2)
    P + Q = θ
    ⇒ cos⁻¹(x/3) + cos⁻¹(y/2) = θ

    আমরা জানি, cos⁻¹A + cos⁻¹B = cos⁻¹(AB - √(1 - A²)√(1 - B²))
    ⇒ cos⁻¹ [ (x/3)(y/2) - √(1 - x²/9) √(1 - y²/4) ] = θ
    ⇒ xy/6 - √[(9 - x²)/9] √[(4 - y²)/4] = cos θ
    ⇒ xy/6 - [√((9 - x²)(4 - y²)) / 6] = cos θ
    ⇒ xy - √((9 - x²)(4 - y²)) = 6 cos θ
    ⇒ xy - 6 cos θ = √((9 - x²)(4 - y²))

    উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
    (xy - 6 cos θ)² = (9 - x²)(4 - y²)
    ⇒ x²y² - 12xy cos θ + 36 cos²θ = 36 - 9y² - 4x² + x²y²
    ⇒ -12xy cos θ + 36 cos²θ = 36 - 4x² - 9y²
    ⇒ 4x² - 12xy cos θ + 9y² = 36 - 36 cos²θ
    ⇒ 4x² - 12xy cos θ + 9y² = 36(1 - cos²θ)
    ⇒ 4x² - 12xy cos θ + 9y² = 36 sin²θ

    (প্রমাণিত)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x) = sin x।
    প্রদত্ত সমীকরণ:
    f(x) + f(2x) + f(3x) = 1 + f(π/2 - x) + f(π/2 - 2x)
    ⇒ sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + sin(π/2 - x) + sin(π/2 - 2x)
    ⇒ (sin 3x + sin x) + sin 2x = 1 + cos x + cos 2x
    ⇒ 2 sin 2x cos x + sin 2x = (1 + cos 2x) + cos x
    ⇒ sin 2x (2 cos x + 1) = 2 cos²x + cos x
    ⇒ sin 2x (2 cos x + 1) = cos x (2 cos x + 1)
    ⇒ sin 2x (2 cos x + 1) - cos x (2 cos x + 1) = 0
    ⇒ (2 cos x + 1)(sin 2x - cos x) = 0
    ⇒ (2 cos x + 1)(2 sin x cos x - cos x) = 0
    ⇒ cos x (2 cos x + 1)(2 sin x - 1) = 0

    অতএব:
    ১) cos x = 0
    ⇒ x = (2n + 1)π/2
    (0, 2π) ব্যবধিতে x = π/2, 3π/2

    ২) 2 cos x + 1 = 0
    ⇒ cos x = -1/2 = cos(π - π/3) = cos(2π/3)
    (0, 2π) ব্যবধিতে x = 2π/3, 4π/3

    ৩) 2 sin x - 1 = 0
    ⇒ sin x = 1/2 = sin(π/6)
    (0, 2π) ব্যবধিতে x = π/6, 5π/6

    অতএব, (0, 2π) ব্যবধিতে নির্ণেয় সমাধান:
    x = π/6, π/2, 2π/3, 5π/6, 4π/3, 3π/2

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন