উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
   x + 3y = -2
   2x + y = -3

   নির্ণায়ক D = \begin{vmatrix} 1 & 3 \ 2 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (3)(2) = 1 - 6 = -5

   D_x = \begin{vmatrix} -2 & 3 \ -3 & 1 \end{vmatrix} = (-2)(1) - (3)(-3) = -2 + 9 = 7

   D_y = \begin{vmatrix} 1 & -2 \ 2 & -3 \end{vmatrix} = (1)(-3) - (-2)(2) = -3 + 4 = 1

   ক্র্যামারের নিয়মানুসারে,
   x = \frac{D_x}{D} = \frac{7}{-5} = -\frac{7}{5}
   y = \frac{D_y}{D} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}

   নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = \left(-\frac{7}{5}, -\frac{1}{5}\right)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, f(x) = x^2 + 3x - 5I।
   সুতরাং f(A) = A^2 + 3A - 5I।

   এখানে,
   A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \ 3 & 4 & 2 \ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}

   A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \ 3 & 4 & 2 \ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \ 3 & 4 & 2 \ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}
   = \begin{bmatrix} 4+0+2 & 0+0+1 & 2+0+3 \ 6+12+4 & 0+16+2 & 3+8+6 \ 4+3+6 & 0+4+3 & 2+2+9 \end{bmatrix}
   = \begin{bmatrix} 6 & 1 & 5 \ 22 & 18 & 17 \ 13 & 7 & 13 \end{bmatrix}

   3A = 3 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \ 3 & 4 & 2 \ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 3 \ 9 & 12 & 6 \ 6 & 3 & 9 \end{bmatrix}

   5I = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \ 0 & 5 & 0 \ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}

   অতএব,
   f(A) = A^2 + 3A - 5I
   = \begin{bmatrix} 6+6-5 & 1+0-0 & 5+3-0 \ 22+9-0 & 18+12-5 & 17+6-0 \ 13+6-0 & 7+3-0 & 13+9-5 \end{bmatrix}
   = \begin{bmatrix} 7 & 1 & 8 \ 31 & 25 & 23 \ 19 & 10 & 17 \end{bmatrix}।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বাস্তব চলক x এর জন্য f(x) = x^2 + 3x - 5 (যেহেতু ম্যাট্রিক্স নয় এমন ক্ষেত্রে স্কেলার ধ্রুবক 5) এবং g(x) = 2x - 3।

   সংযোজিত ফাংশন:
   gof(x) = g(f(x)) = 2(f(x)) - 3
   = 2(x^2 + 3x - 5) - 3
   = 2x^2 + 6x - 10 - 3
   = 2x^2 + 6x - 13।

   ধরি, y = 2x^2 + 6x - 13
   \Rightarrow y = 2\left(x^2 + 3x + \frac{9}{4}\right) - \frac{9}{2} - 13
   \Rightarrow y = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{35}{2}
   \Rightarrow y + \frac{35}{2} = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2।

   এটি একটি পরাবৃত্ত (parabola), যার অক্ষ y-অক্ষের সমান্তরাল এবং এটি ঊর্ধ্বমুখী উন্মুক্ত।
   পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু: \left(-\frac{3}{2}, -\frac{35}{2}\right) বা (-1.5, -17.5)।

   লেখচিত্রের জন্য কয়েকটি বিন্দু:
   x = 0 হলে, y = -13
   x = 1 হলে, y = -5
   x = 2 হলে, y = 7
   x = -1 হলে, y = -17
   x = -2 হলে, y = -17
   x = -3 হলে, y = -13
   x = -4 হলে, y = -5
   x = -5 হলে, y = 7

   অঙ্কন পদ্ধতি:
   ছক কাগজে সুবিধাজনক স্কেল নিয়ে x-অক্ষ ও y-অক্ষ চিহ্নিত করে শীর্ষবিন্দু (-1.5, -17.5) এবং প্রাপ্ত বিন্দুগুলো স্থাপন করে মসৃণ বক্ররেখা দ্বারা যুক্ত করলে gof(x) = 2x^2 + 6x - 13 এর পরাবৃত্তাকার লেখচিত্র পাওয়া যাবে।