উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   n = 4 এর জন্য প্যাসকেলের ত্রিভুজটি নিম্নরূপ:

   n = 0: 1
   n = 1: 1 1
   n = 2: 1 2 1
   n = 3: 1 3 3 1
   n = 4: 1 4 6 4 1

   অতএব, n = 4 এর সারিটি হলো: 1, 4, 6, 4, 1।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, f(x) = (2 - 3/x)^15

   আমরা জানি, (a + b)^n এর বিস্তৃতিতে (r + 1)-তম পদটি হলো:
   T_(r+1) = ^nC_r * a^(n-r) * b^r

   এখানে, a = 2, b = -3/x এবং n = 15।
   সুতরাং, T_(r+1) = ^15C_r * 2^(15-r) * (-3/x)^r
   = ^15C_r * 2^(15-r) * (-3)^r * x^(-r)

   উক্ত পদটি x-বর্জিত বা x-মুক্ত হবে যদি x এর ঘাত 0 হয়।
   অতএব, -r = 0 => r = 0

   সুতরাং, পদ সংখ্যা = r + 1 = 0 + 1 = 1-তম পদ।
   অর্থাৎ, ১ম পদটি x-বর্জিত।

   পদটির মান = ^15C_0 * 2^(15-0) * (-3)^0 = 1 * 2^15 * 1 = 2^15 = 32768।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, f(x) = (2 - 3/x)^15।
   এখানে ঘাত n = 15, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।
   অতএব, বিস্তৃতিতে মোট পদসংখ্যা = n + 1 = 15 + 1 = 16 (জোড়)।
   কাজেই, বিস্তৃতিতে মধ্যপদ থাকবে দুইটি।
   মধ্যপদ দুটি হলো:
   (15 + 1)/2 = 8-তম পদ এবং (15 + 3)/2 = 9-তম পদ।

   এখন, r + 1 = 8 হলে, r = 7:
   T_8 = ^15C_7 * 2^(15-7) * (-3/x)^7
   x = 1 হলে,
   T_8 = ^15C_7 * 2^8 * (-3)^7
   = 6435 * 256 * (-2187)
   = -3,602,776,320

   আবার, r + 1 = 9 হলে, r = 8:
   T_9 = ^15C_8 * 2^(15-8) * (-3/x)^8
   x = 1 হলে,
   T_9 = ^15C_8 * 2^7 * (-3)^8
   যেহেতু ^15C_8 = ^15C_7 = 6435,
   T_9 = 6435 * 128 * 6561
   = 5,404,164,480

   সুতরাং, মধ্যপদ দুইটির পার্থক্য:
   |T_9 - T_8| = 5404164480 - (-3602776320)
   = 5404164480 + 3602776320
   = 9,006,940,800
   (অথবা T_8 - T_9 = -9,006,940,800)।