গণিত • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২৪

গণিত প্রশ্ন

চিত্রে, ABC A B C একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার ∠B=90∘ \angle B=90^{\circ}

  1. ক)

    sin⁡(90∘−θ)=513 \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=\frac{5}{13} হলে sin⁡θ \sin \theta এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ করো যে,cos⁡A1−tan⁡A+sin⁡A1−cot⁡A=12(1+3) \frac{\cos \mathrm{A}}{1-\tan \mathrm{A}}+\frac{\sin \mathrm{A}}{1-\cot \mathrm{A}}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{3})

    (2)
  3. গ)

    দেখাও যে, sin⁡x=cos⁡3y \sin x=\cos 3 y

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    sin⁡(90∘−θ)=cos⁡θ=513\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta=\frac{5}{13}

    sin⁡θ=1−cos⁡2θ=1−25169=144169=1213\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\mathbf{\frac{12}{13}}

  2. খ)

    চিত্রে △ABC\triangle ABC সমকোণী (∠B=90∘\angle B=90^\circ), অতিভুজ AC=2AC=2 ও BC=3BC=\sqrt{3}। sin⁡A=BCAC=32\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}, তাই ∠A=60∘\angle A=60^\circ।

    বামপক্ষ =cos⁡A1−tan⁡A+sin⁡A1−cot⁡A=cos⁡2Acos⁡A−sin⁡A+sin⁡2Asin⁡A−cos⁡A=cos⁡2A−sin⁡2Acos⁡A−sin⁡A=cos⁡A+sin⁡A=\frac{\cos A}{1-\tan A}+\frac{\sin A}{1-\cot A}=\frac{\cos^2A}{\cos A-\sin A}+\frac{\sin^2A}{\sin A-\cos A}=\frac{\cos^2A-\sin^2A}{\cos A-\sin A}=\cos A+\sin A

    =cos⁡60∘+sin⁡60∘=12+32=12(1+3)==\cos60^\circ+\sin60^\circ=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{3})= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    চিত্র অনুযায়ী ∠A=x+y=60∘\angle A=x+y=60^\circ এবং ∠C=x−y=90∘−60∘=30∘\angle C=x-y=90^\circ-60^\circ=30^\circ।

    যোগ করে 2x=90∘⇒x=45∘2x=90^\circ\Rightarrow x=45^\circ; বিয়োগ করে 2y=30∘⇒y=15∘2y=30^\circ\Rightarrow y=15^\circ।

    sin⁡x=sin⁡45∘=12\sin x=\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}} এবং cos⁡3y=cos⁡45∘=12\cos3y=\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}

    অতএব sin⁡x=cos⁡3y\sin x=\cos3y (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন