পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেসব চলকের মান সংখ্যায় পরিমাপ করা যায় না, কেবল বৈশিষ্ট্য বা গুণ অনুসারে প্রকাশ করা যায়, তাকে গুণবাচক চলক বলে। যেমন— রক্তের গ্রুপ, বৈবাহিক অবস্থা, ধর্ম ইত্যাদি।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বিচ্ছিন্ন চলক ও অবিচ্ছিন্ন চলকের মধ্যে পার্থক্য নিম্নরূপ:
   ১. যে চলক কেবল নির্দিষ্ট কিছু পৃথক মান (সাধারণত পূর্ণসংখ্যা) গ্রহণ করতে পারে, তাকে বিচ্ছিন্ন চলক বলে। পক্ষান্তরে, যে চলক একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যকার যেকোনো বাস্তব মান গ্রহণ করতে পারে, তাকে অবিচ্ছিন্ন চলক বলে।
   ২. বিচ্ছিন্ন চলকের মান গণনা করা যায় (যেমন: একটি পরিবারের সদস্য সংখ্যা, বইয়ের পৃষ্ঠা সংখ্যা)। কিন্তু অবিচ্ছিন্ন চলকের মান পরিমাপ করতে হয় (যেমন: মানুষের উচ্চতা, ওজন, তাপমাত্রা)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত মানগুলো হলো:
   $x_1 = 6, x_2 = 9, x_3 = 12, x_4 = 15, x_5 = 18, x_6 = 21, x_7 = 24, x_8 = 27$
   এখানে মোট পদসংখ্যা, $n = 8$।

   এখন, $\sum_{i=1}^{8}(x_i - 7)^2$-এর মান নির্ণয় করা হলো:
   $(6 - 7)^2 + (9 - 7)^2 + (12 - 7)^2 + (15 - 7)^2 + (18 - 7)^2 + (21 - 7)^2 + (24 - 7)^2 + (27 - 7)^2$
   $= (-1)^2 + (2)^2 + (5)^2 + (8)^2 + (11)^2 + (14)^2 + (17)^2 + (20)^2$
   $= 1 + 4 + 25 + 64 + 121 + 196 + 289 + 400$
   $= 1100$

   অতএব, নির্ণেয় মান ১১০০।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের তথ্য হতে মূল ও মাপণীর প্রভাব যাচাই করার জন্য আমরা গাণিতিক গড় বিবেচনা করি।
   আমরা জানি, কোনো চলকের গাণিতিক গড় মূল ও মাপনী উভয়ের পরিবর্তনের ওপর নির্ভরশীল।

   প্রদত্ত মানসমূহ: $x_i = 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27$
   এখানে মোট পদসংখ্যা $n = 8$
   মূল উপাত্তের সমষ্টি, $\sum x_i = 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 = 132$
   মূল উপাত্তের গাণিতিক গড়, $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{132}{8} = 16.5$

   এখন মূল পরিবর্তন করতে একটি নির্দিষ্ট মান $a = 15$ বিয়োগ করি এবং মাপনী পরিবর্তন করতে $c = 3$ দ্বারা ভাগ করি।
   রূপান্তরিত নতুন চলক, $u_i = \frac{x_i - a}{c} = \frac{x_i - 15}{3}$

   মানসমূহ পাই:
   $u_1 = \frac{6 - 15}{3} = -3$
   $u_2 = \frac{9 - 15}{3} = -2$
   $u_3 = \frac{12 - 15}{3} = -1$
   $u_4 = \frac{15 - 15}{3} = 0$
   $u_5 = \frac{18 - 15}{3} = 1$
   $u_6 = \frac{21 - 15}{3} = 2$
   $u_7 = \frac{24 - 15}{3} = 3$
   $u_8 = \frac{27 - 15}{3} = 4$

   রূপান্তরিত চলকের সমষ্টি, $\sum u_i = (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 4$
   রূপান্তরিত চলকের গড়, $\bar{u} = \frac{\sum u_i}{n} = \frac{4}{8} = 0.5$

   তত্ত্বানুযায়ী, $\bar{x} = a + c \cdot \bar{u}$
   ডানপক্ষ $= 15 + 3 \times 0.5 = 15 + 1.5 = 16.5 = \bar{x}$ (বামপক্ষ)

   মন্তব্য: উপাত্তটি হতে প্রমাণিত হলো যে, গাণিতিক গড় মূল ও মাপনী উভয়ের ওপর নির্ভরশীল অর্থাৎ মূল ও মাপনীর পরিবর্তন গাণিতিক গড়কে প্রভাবিত করে।