পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের বিকৃত পাঠ্য '−1.5.20=90' হতে ধরে নেওয়া হয়েছে ৩ এর সাপেক্ষে নির্ণীত ১ম চারটি অশোধিত পরিঘাত যথাক্রমে $\mu_1' = -1$, $\mu_2' = 5$, $\mu_3' = 20$ এবং $\mu_4' = 90$।

   কোনো তথ্যসারি বা গণসংখ্যা নিবেশনের মানগুলো হতে তাদের গাণিতিক গড় বা অন্য কোনো নির্দিষ্ট মানের বিচ্যুতির বিভিন্ন ঘাতের গড় মানকে পরিঘাত (Moment) বলে।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের বিকৃত পাঠ্য '−1.5.20=90' হতে ধরে নেওয়া হয়েছে ৩ এর সাপেক্ষে নির্ণীত ১ম চারটি অশোধিত পরিঘাত যথাক্রমে $\mu_1' = -1$, $\mu_2' = 5$, $\mu_3' = 20$ এবং $\mu_4' = 90$।

   দ্বিতীয় শোধিত পরিঘাত হলো তথ্যসারির প্রতিটি মান হতে তাদের গাণিতিক গড়ের বিচ্যুতির বর্গের গড়।
   গাণিতিকভাবে, $\mu_2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}$
   যেহেতু যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সর্বদা অঋণাত্মক এবং তথ্যসারির মানগুলো পরস্পর ভিন্ন হলে বিচ্যুতিগুলোর বর্গের সমষ্টি সর্বদা ধনাত্মক হয়, তাই দ্বিতীয় শোধিত পরিঘাত সর্বদাই ধনাত্মক। উল্লেখ্য, দ্বিতীয় শোধিত পরিঘাত মূলত নিবেশনের ভেদাঙ্ক নির্দেশ করে, যা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের বিকৃত পাঠ্য '−1.5.20=90' হতে ধরে নেওয়া হয়েছে ৩ এর সাপেক্ষে নির্ণীত ১ম চারটি অশোধিত পরিঘাত যথাক্রমে $\mu_1' = -1$, $\mu_2' = 5$, $\mu_3' = 20$ এবং $\mu_4' = 90$।

   অনুমান অনুসারে, নির্দিষ্ট মান $A = 3$ এর সাপেক্ষে ১ম চারটি অশোধিত পরিঘাত যথাক্রমে:
   $\mu_1' = -1$
   $\mu_2' = 5$
   $\mu_3' = 20$
   $\mu_4' = 90$

   আমরা জানি, ৩য় শোধিত পরিঘাত ($\mu_3$)-এর সূত্র:
   $\mu_3 = \mu_3' - 3\mu_2'\mu_1' + 2(\mu_1')^3$

   মান বসিয়ে পাই,
   $\mu_3 = 20 - 3(5)(-1) + 2(-1)^3$
   $= 20 - (-15) + 2(-1)$
   $= 20 + 15 - 2 = 33$

   অতএব, ৩য় শোধিত পরিঘাতের মান ৩৩।

4. ঘ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকের বিকৃত পাঠ্য '−1.5.20=90' হতে ধরে নেওয়া হয়েছে ৩ এর সাপেক্ষে নির্ণীত ১ম চারটি অশোধিত পরিঘাত যথাক্রমে $\mu_1' = -1$, $\mu_2' = 5$, $\mu_3' = 20$ এবং $\mu_4' = 90$।

   নিবেশনটির সূঁচালতা পরিমাপের জন্য সূঁচালতা গুণাঙ্ক ($\beta_2$) নির্ণয় করতে হবে, যার জন্য দ্বিতীয় ও চতুর্থ শোধিত পরিঘাত প্রয়োজন।

   দ্বিতীয় শোধিত পরিঘাত:
   $\mu_2 = \mu_2' - (\mu_1')^2 = 5 - (-1)^2 = 5 - 1 = 4$

   চতুর্থ শোধিত পরিঘাত:
   $\mu_4 = \mu_4' - 4\mu_3'\mu_1' + 6\mu_2'(\mu_1')^2 - 3(\mu_1')^4$
   $= 90 - 4(20)(-1) + 6(5)(-1)^2 - 3(-1)^4$
   $= 90 - (-80) + 30(1) - 3(1)$
   $= 90 + 80 + 30 - 3 = 197$

   সূঁচালতা গুণাঙ্ক ($\beta_2$):
   $\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} = \frac{197}{4^2} = \frac{197}{16} = 12.3125$

   মতামত: পরিমিত নিবেশনের ক্ষেত্রে $\beta_2 = 3$ হয়। যেহেতু এখানে $\beta_2 > 3$ (অর্থাৎ $12.3125 > 3$), সেহেতু নিবেশনটি অতি-সূঁচালো (Leptokurtic)।