∫0π2cos⁡3xsin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}x\sqrt{\sin x}dx

Question

Accepted Answer

ঘ. 821 \frac{8}{21}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট যোগজটি হলো:
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{3}x \sqrt{\sin x} \, dx$$

আমরা জানি, $\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x = (1 - \sin^2 x)\cos x$।
অতএব,
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2 x)\sqrt{\sin x} \cos x \, dx$$

ধরি, $u = \sin x$
$\implies du = \cos x \, dx$

সীমা পরিবর্তন:
যখন $x = 0$, তখন $u = \sin 0 = 0$
যখন $x = \frac{\pi}{2}$, তখন $u = \sin\frac{\pi}{2} = 1$

যোগজটিতে মান বসিয়ে পাই:
$$I = \int_{0}^{1} (1 - u^2)\sqrt{u} \, du = \int_{0}^{1} (u^{1/2} - u^{5/2}) \, du$$
$$= \left[ \frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}} - \frac{u^{7/2}}{\frac{7}{2}} \right]_{0}^{1}$$
$$= \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{2}{7}u^{7/2} \right]_{0}^{1}$$
$$= \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{7} \right) - 0 = \frac{14 - 6}{21} = \frac{8}{21}$$

সুতরাং সঠিক উত্তর হলো অপশন 4 (\frac{8}{21})।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন