উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

X=sin⁡α−cos⁡α,Y=cos⁡β−sin⁡β X=\sin \alpha-\cos \alpha, Y=\cos \beta-\sin \beta যেখানে α≠β, \alpha \neq \beta,
P=cosec⁡20∘,Q=sec⁡20∘ P=\operatorname{cosec} 20^{\circ}, Q=\sec 20^{\circ}

  1. ক)

    θ=cos⁡−113\theta=\cos ^{-1} \frac{1}{3} হলে, cos⁡3θ\cos 3 \theta এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    X=YX=Y হলে, দেখাও যে, 2(α+β)=π2(\alpha+\beta)=\pi

    (4)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, P+3Q=4tan⁡50∘P+\sqrt{3} Q=4 \tan 50^{\circ}.

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    দেওয়া আছে, θ=cos⁡−1(13)  ⟹  cos⁡θ=13\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \implies \cos\theta = \frac{1}{3}

    আমরা জানি,
    cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta
    =4(13)3−3(13)= 4\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{3}\right)
    =4(127)−1= 4\left(\frac{1}{27}\right) - 1
    =427−1= \frac{4}{27} - 1
    =4−2727=−2327= \frac{4 - 27}{27} = -\frac{23}{27}

    নির্ণেয় মান: −2327-\frac{23}{27}

  2. খ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    দেওয়া আছে, X=YX = Y
      ⟹  sin⁡α−cos⁡α=cos⁡β−sin⁡β\implies \sin\alpha - \cos\alpha = \cos\beta - \sin\beta
      ⟹  sin⁡α+sin⁡β=cos⁡α+cos⁡β\implies \sin\alpha + \sin\beta = \cos\alpha + \cos\beta
      ⟹  2sin⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)=2cos⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)\implies 2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

    যেহেতু α≠β\alpha \neq \beta, তাই α−β2≠0\frac{\alpha-\beta}{2} \neq 0, সুতরাং সাধারণ ক্ষেত্রে cos⁡(α−β2)≠0\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \neq 0 ধরে উভয়পক্ষকে 2cos⁡(α−β2)2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) দ্বারা ভাগ করে পাই,
    sin⁡(α+β2)=cos⁡(α+β2)\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)
      ⟹  tan⁡(α+β2)=1\implies \tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = 1
      ⟹  tan⁡(α+β2)=tan⁡(π4)\implies \tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)
      ⟹  α+β2=π4\implies \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{4}
      ⟹  2(α+β)=π\implies 2(\alpha+\beta) = \pi (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    দেওয়া আছে, P=cosec⁡20∘P = \operatorname{cosec} 20^\circ এবং Q=sec⁡20∘Q = \sec 20^\circ

    বামপক্ষ =P+3Q= P + \sqrt{3}Q
    =cosec⁡20∘+3sec⁡20∘= \operatorname{cosec} 20^\circ + \sqrt{3}\sec 20^\circ
    =1sin⁡20∘+3cos⁡20∘= \frac{1}{\sin 20^\circ} + \frac{\sqrt{3}}{\cos 20^\circ}
    =cos⁡20∘+3sin⁡20∘sin⁡20∘cos⁡20∘= \frac{\cos 20^\circ + \sqrt{3}\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ}
    =2(12cos⁡20∘+32sin⁡20∘)12(2sin⁡20∘cos⁡20∘)= \frac{2\left(\frac{1}{2}\cos 20^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 20^\circ\right)}{\frac{1}{2}(2\sin 20^\circ \cos 20^\circ)}
    =4(sin⁡30∘cos⁡20∘+cos⁡30∘sin⁡20∘)sin⁡40∘= \frac{4(\sin 30^\circ \cos 20^\circ + \cos 30^\circ \sin 20^\circ)}{\sin 40^\circ}
    =4sin⁡(30∘+20∘)sin⁡40∘= \frac{4\sin(30^\circ + 20^\circ)}{\sin 40^\circ}
    =4sin⁡50∘sin⁡(90∘−50∘)= \frac{4\sin 50^\circ}{\sin(90^\circ - 50^\circ)}
    =4sin⁡50∘cos⁡50∘= \frac{4\sin 50^\circ}{\cos 50^\circ}
    =4tan⁡50∘= 4\tan 50^\circ
    =ডানপক্ষ= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন