উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $AB$ রেখার সমীকরণ:
   $4x + 3y - 12 = 0$
   $\Rightarrow 3y = -4x + 12$
   $\Rightarrow y = -\frac{4}{3}x + 4$

   উক্ত সমীকরণটি ঢাল আকার $y = mx + c$-এর অনুরূপ, যেখানে $m = -\frac{4}{3}$ এবং $c = 4$।

   সুতরাং, ঢাল আকারে প্রকাশ: $y = -\frac{4}{3}x + 4$
   এবং রেখাটির ঢাল $= -\frac{4}{3}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেহেতু $AB \parallel CD$ এবং $AB$ রেখার সমীকরণ $4x + 3y - 12 = 0$,
   সুতরাং $CD$ রেখার সমীকরণকে লেখা যায়:
   $4x + 3y + k = 0 \quad \text{...(i)}$

   মূলবিন্দু $(0, 0)$ হতে $AB$ রেখার লম্ব দূরত্ব,
   $d_1 = \frac{|4(0) + 3(0) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{12}{5}$

   মূলবিন্দু $(0, 0)$ হতে $CD$ রেখার লম্ব দূরত্ব,
   $d_2 = \frac{|4(0) + 3(0) + k|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|k|}{5}$

   প্রশ্নমতে, $d_1 = d_2$
   $\Rightarrow \frac{|k|}{5} = \frac{12}{5}$
   $\Rightarrow |k| = 12$
   $\Rightarrow k = \pm 12$

   চিত্রে দেখা যায়, $AB$ ও $CD$ রেখা দুটি মূলবিন্দুর বিপরীত পাশে অবস্থিত। $AB$ রেখার ক্ষেত্রে ধ্রুবক পদ $-12$, সুতরাং $CD$ রেখার জন্য ধ্রুবক পদ ধনাত্মক হবে, অর্থাৎ $k = 12$।
   ($k = -12$ হলে তা প্রদত্ত $AB$ রেখাকেই নির্দেশ করে)।

   অতএব, $CD$ রেখার সমীকরণ:
   $4x + 3y + 12 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $AB$ রেখার সমীকরণ: $4x + 3y = 12$
   $\Rightarrow \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$
   রেখাটি $X$-অক্ষকে $A$ এবং $Y$-অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   অতএব, $A \equiv (3, 0)$ এবং $B \equiv (0, 4)$।

   'খ' হতে পাই, $CD$ রেখার সমীকরণ: $4x + 3y = -12$
   $\Rightarrow \frac{x}{-3} + \frac{y}{-4} = 1$
   রেখাটি $X$-অক্ষকে $C$ এবং $Y$-অক্ষকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   অতএব, $C \equiv (-3, 0)$ এবং $D \equiv (0, -4)$।

   এখন বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:
   $AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
   $BC = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$
   $CD = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$
   $DA = \sqrt{(0 - 3)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

   এখানে, $AB = BC = CD = DA = 5$ একক।

   কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য:
   $AC = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{6^2} = 6$
   $BD = \sqrt{(0 - 0)^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{8^2} = 8$

   যেহেতু চতুর্ভুজটির চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান ($AB = BC = CD = DA$) কিন্তু কর্ণদ্বয় অসমান ($AC \neq BD$),
   সুতরাং, $ABCD$ একটি রম্বস। (দেখানো হলো)