পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি ধনাত্মক অক্ষ (X, Y ও Z অক্ষ) বরাবর যে তিনটি একক ভেক্টর যথাক্রমে $\hat{i}$, $\hat{j}$ ও $\hat{k}$ বিবেচনা করা হয়, তাদেরকে আয়ত একক ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ডান হাতি স্ক্রু নিয়ম অনুসারে, একটি ডান হাতি স্ক্রুকে বোতলের ছিপির ঘূর্ণনের অভিমুখে ঘুরালে স্ক্রুটি যেদিকে অগ্রসর হয়, তা ঘূর্ণনজনিত সরণের অভিমুখ নির্দেশ করে। বোতলের ছিপিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে (anti-clockwise) ঘুরালে স্ক্রুর অগ্রভাগ ওপরের দিকে উঠে আসে, ফলে মুখটি খুলে যায়। পক্ষান্তরে, ঘড়ির কাঁটার দিকে (clockwise) ঘুরালে স্ক্রুটি নিচের দিকে অগ্রসর হয়, যার ফলে মুখটি শক্তভাবে বন্ধ হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
   $\vec{B} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$

   $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ উভয় ভেক্টরের ওপর লম্ব ভেক্টর হলো এদের ক্রস গুণফল:
   $\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
   $= \hat{i}(6 - 5) - \hat{j}(8 - 10) + \hat{k}(4 - 6)$
   $= \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$

   এর মান:
   $|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

   অতএব, নির্ণেয় লম্ব একক ভেক্টর:
   $\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|} = \pm \frac{\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}}{3} = \pm \left( \frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k} \right)$

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{C} = x^2 y \hat{i} + y^2 z \hat{j} + z^2 x \hat{k}$

   প্রথমে $\vec{C}$-এর কার্ল নির্ণয় করি:
   $\vec{\nabla} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^2 y & y^2 z & z^2 x \end{vmatrix}$
   $= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(z^2 x) - \frac{\partial}{\partial z}(y^2 z) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(z^2 x) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2 y) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(y^2 z) - \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) \right)$
   $= \hat{i}(0 - y^2) - \hat{j}(z^2 - 0) + \hat{k}(0 - x^2)$
   $= -y^2\hat{i} - z^2\hat{j} - x^2\hat{k}$

   এখন, কার্লের ডাইভারজেন্স নির্ণয় করি:
   $\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{C}) = \frac{\partial}{\partial x}(-y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(-z^2) + \frac{\partial}{\partial z}(-x^2)$
   $= 0 + 0 + 0 = 0$

   অতএব, উদ্দীপকের $\vec{C}$ ভেক্টরের কার্লের ডাইভারজেন্স শূন্য হবে।