উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

f(x)=tan⁡x. \mathbf{f}(\mathbf{x})=\tan x.

  1. ক)

    cot⁡−1sin⁡tan⁡−134 \cot ^{-1} \sin \tan ^{-1} \frac{3}{4} এর মুখ্য মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    উদ্দীপকে উল্লেখিত f(x) \mathrm{f}(\mathrm{x}) এর জন্য f−1(x)+f−1(y)=π \mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})+\mathrm{f}^{-1}(\mathrm{y})=\pi হলে প্রমাণ কর যে,প্রাপ্ত সঞ্চারপথটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে যার ঢাল - 1 হবে। উদ্দীপকে উল্লেখিত f(x) এর জন্য f−'(x) + f−(y) = n হলে

    (2)
  3. গ)

    {f(x)}2+f′(x)=3f(x) {\mathrm{f}(\mathrm{x})}^{2}+\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=3 \mathrm{f}(\mathrm{x}) হলে বিশেষ সমাধান নির্ণয় কর যখন 0≤x≤2π 0 \leq \mathrm{x} \leq 2 \pi

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, θ=tan⁡−1(34)\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right),
    তাহলে tan⁡θ=34\tan \theta = \frac{3}{4}।
    আমরা জানি, sin⁡θ=332+42=35\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{3}{5}।
    অতএব, প্রদত্ত রাশি:
    cot⁡−1(sin⁡tan⁡−134)=cot⁡−1(sin⁡θ)=cot⁡−1(35)=tan⁡−1(53)\cot^{-1}\left(\sin \tan^{-1}\frac{3}{4}\right) = \cot^{-1}\left(\sin \theta\right) = \cot^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{3}\right)।
    সুতরাং নির্ণেয় মুখ্য মান cot⁡−1(35)\cot^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) বা tan⁡−1(53)\tan^{-1}\left(\frac{5}{3}\right)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=tan⁡xf(x) = \tan x।
    অতএব, f−1(x)=tan⁡−1xf^{-1}(x) = \tan^{-1} x এবং f−1(y)=tan⁡−1yf^{-1}(y) = \tan^{-1} y।

    প্রদত্ত শর্তানুসারে,
    f−1(x)+f−1(y)=πf^{-1}(x) + f^{-1}(y) = \pi
    ⇒tan⁡−1x+tan⁡−1y=π\Rightarrow \tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \pi
    ⇒tan⁡−1(x+y1−xy)=π\Rightarrow \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) = \pi
    ⇒x+y1−xy=tan⁡π=0\Rightarrow \frac{x+y}{1-xy} = \tan \pi = 0
    ⇒x+y=0\Rightarrow x + y = 0
    ⇒y=−x\Rightarrow y = -x
    ⇒y=(−1)x+0\Rightarrow y = (-1)x + 0

    এটি y=mx+cy = mx + c আকারের একটি সরলরেখার সমীকরণ, যা মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা নির্দেশ করে।
    এখানে সরলরেখাটির ঢাল m=−1m = -1।
    অতএব, প্রাপ্ত সঞ্চারপথটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে যার ঢাল −1-1। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=tan⁡xf(x) = \tan x
    আমরা জানি, f′(x)=ddx(tan⁡x)=sec⁡2xf'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x।

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    {f(x)}2+f′(x)=3f(x)\{f(x)\}^2 + f'(x) = 3f(x)
    ⇒tan⁡2x+sec⁡2x=3tan⁡x\Rightarrow \tan^2 x + \sec^2 x = 3\tan x
    ⇒tan⁡2x+(1+tan⁡2x)−3tan⁡x=0\Rightarrow \tan^2 x + (1 + \tan^2 x) - 3\tan x = 0
    ⇒2tan⁡2x−3tan⁡x+1=0\Rightarrow 2\tan^2 x - 3\tan x + 1 = 0
    ⇒2tan⁡2x−2tan⁡x−tan⁡x+1=0\Rightarrow 2\tan^2 x - 2\tan x - \tan x + 1 = 0
    ⇒2tan⁡x(tan⁡x−1)−1(tan⁡x−1)=0\Rightarrow 2\tan x(\tan x - 1) - 1(\tan x - 1) = 0
    ⇒(tan⁡x−1)(2tan⁡x−1)=0\Rightarrow (\tan x - 1)(2\tan x - 1) = 0

    হয়, tan⁡x−1=0⇒tan⁡x=1\tan x - 1 = 0 \Rightarrow \tan x = 1
    অথবা, 2tan⁡x−1=0⇒tan⁡x=122\tan x - 1 = 0 \Rightarrow \tan x = \frac{1}{2}

    যেহেতু ব্যবধি 0≤x≤2π0 \leq x \leq 2\pi:
    (i) tan⁡x=1\tan x = 1 হলে:
    প্রথম চতুর্ভাগে: x=π4x = \frac{\pi}{4}
    তৃতীয় চতুর্ভাগে: x=π+π4=5π4x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}

    (ii) tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} হলে:
    প্রথম চতুর্ভাগে: x=tan⁡−1(12)x = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)
    তৃতীয় চতুর্ভাগে: x=π+tan⁡−1(12)x = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)

    অতএব, নির্ণেয় বিশেষ সমাধান:
    x=π4,5π4,tan⁡−1(12),π+tan⁡−1(12)x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right), \pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন