উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: x+y+z=1x + y + z = 1
x+2y+z=2x + 2y + z = 2
x+y+2z=0x + y + 2z = 0
দৃশ্যকল্প-২: D=8∣p−q−r2ppqq−r−p2qrrr−p−q2∣D = 8 \begin{vmatrix} \frac{p - q - r}{2} & p & p \ q & \frac{q - r - p}{2} & q \ r & r & \frac{r - p - q}{2} \end{vmatrix}

  1. ক)

    A=(123)A = (1 \quad 2 \quad 3) এবং B=(321)B = \begin{pmatrix} 3 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}, হলে (AB)t(AB)^t নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, D=S3D = S^3 যেখানে S=p+q+rS = p + q + r।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A=(123)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} এবং B=(321)B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

    সুতরাং,
    AB=(123)(321)AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
    =(1⋅3+2⋅2+3⋅1)= (1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1)
    =(3+4+3)=(10)= (3 + 4 + 3) = (10)

    অতএব, (AB)t=(10)t=(10)(AB)^t = (10)^t = (10) বা 1010।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণজোট:
    x+y+z=1x + y + z = 1
    x+2y+z=2x + 2y + z = 2
    x+y+2z=0x + y + 2z = 0

    এখানে চলকগুলোর সহগ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,
    D=∣111121112∣D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}
    =1(4−1)−1(2−1)+1(1−2)= 1(4 - 1) - 1(2 - 1) + 1(1 - 2)
    =1(3)−1(1)+1(−1)=3−1−1=1≠0= 1(3) - 1(1) + 1(-1) = 3 - 1 - 1 = 1 \neq 0

    এখন,
    Dx=∣111221012∣D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}
    =1(4−1)−1(4−0)+1(2−0)= 1(4 - 1) - 1(4 - 0) + 1(2 - 0)
    =3−4+2=1= 3 - 4 + 2 = 1

    Dy=∣111121102∣D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}
    =1(4−0)−1(2−1)+1(0−2)= 1(4 - 0) - 1(2 - 1) + 1(0 - 2)
    =4−1−2=1= 4 - 1 - 2 = 1

    Dz=∣111122110∣D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}
    =1(0−2)−1(0−2)+1(1−2)= 1(0 - 2) - 1(0 - 2) + 1(1 - 2)
    =−2+2−1=−1= -2 + 2 - 1 = -1

    ক্র্যামারের নিয়মানুসারে,
    x=DxD=11=1x = \frac{D_x}{D} = \frac{1}{1} = 1
    y=DyD=11=1y = \frac{D_y}{D} = \frac{1}{1} = 1
    z=DzD=−11=−1z = \frac{D_z}{D} = \frac{-1}{1} = -1

    নির্ণেয় সমাধান: (x,y,z)=(1,1,−1)(x, y, z) = (1, 1, -1)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    D=8∣p−q−r2ppqq−r−p2qrrr−p−q2∣D = 8 \begin{vmatrix} \frac{p - q - r}{2} & p & p \\ q & \frac{q - r - p}{2} & q \\ r & r & \frac{r - p - q}{2} \end{vmatrix}

    প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সারি থেকে যথাক্রমে 12\frac{1}{2} সাধারণ উৎপাদক নিলে বা প্রতিটি সারিকে 22 দ্বারা গুণ করে 88 দ্বারা সমন্বয় করলে,
    D=8⋅(12)3∣p−q−r2p2p2qq−r−p2q2r2rr−p−q∣D = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \begin{vmatrix} p - q - r & 2p & 2p \\ 2q & q - r - p & 2q \\ 2r & 2r & r - p - q \end{vmatrix}
    =1⋅∣p−q−r2p2p2qq−r−p2q2r2rr−p−q∣= 1 \cdot \begin{vmatrix} p - q - r & 2p & 2p \\ 2q & q - r - p & 2q \\ 2r & 2r & r - p - q \end{vmatrix}

    সারি রূপান্তর প্রয়োগ করে: R1′=R1+R2+R3R_1' = R_1 + R_2 + R_3
    D=∣p+q+rp+q+rp+q+r2qq−r−p2q2r2rr−p−q∣D = \begin{vmatrix} p + q + r & p + q + r & p + q + r \\ 2q & q - r - p & 2q \\ 2r & 2r & r - p - q \end{vmatrix}

    প্রথম সারি থেকে (p+q+r)(p + q + r) কমন নিয়ে,
    D=(p+q+r)∣1112qq−r−p2q2r2rr−p−q∣D = (p + q + r) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2q & q - r - p & 2q \\ 2r & 2r & r - p - q \end{vmatrix}

    কলাম রূপান্তর প্রয়োগ করে: C1′=C1−C2C_1' = C_1 - C_2 এবং C2′=C2−C3C_2' = C_2 - C_3
    D=(p+q+r)∣001p+q+r−(p+q+r)2q0p+q+rr−p−q∣D = (p + q + r) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ p + q + r & -(p + q + r) & 2q \\ 0 & p + q + r & r - p - q \end{vmatrix}

    প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করে,
    D=(p+q+r)⋅1⋅∣p+q+r−(p+q+r)0p+q+r∣D = (p + q + r) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} p + q + r & -(p + q + r) \\ 0 & p + q + r \end{vmatrix}
    =(p+q+r)⋅[(p+q+r)(p+q+r)−0]= (p + q + r) \cdot \left[ (p + q + r)(p + q + r) - 0 \right]
    =(p+q+r)3= (p + q + r)^3

    যেহেতু S=p+q+rS = p + q + r,
    অতএব, D=S3D = S^3 (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন