উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, বৃত্তের কেন্দ্র পোলার স্থানাঙ্কে $(r_0, \theta_0) = \left(6, \frac{\pi}{4}\right)$ এবং ব্যাসার্ধ $a = 5$ একক।
   বৃত্তের পোলার সমীকরণ:
   $r^2 - 2rr_0\cos(\theta - \theta_0) + r_0^2 = a^2$
   $\Rightarrow r^2 - 2 \cdot r \cdot 6 \cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) + 6^2 = 5^2$
   $\Rightarrow r^2 - 12r\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) + 36 - 25 = 0$
   $\Rightarrow r^2 - 12r\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) + 11 = 0$

   [বিকল্প কার্তেসীয় রূপ: কেন্দ্র $(x_1, y_1) = \left(6\cos\frac{\pi}{4}, 6\sin\frac{\pi}{4}\right) = (3\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$,
   সুতরাং সমীকরণ: $(x - 3\sqrt{2})^2 + (y - 3\sqrt{2})^2 = 5^2$
   বা, $x^2 + y^2 - 6\sqrt{2}x - 6\sqrt{2}y + 11 = 0$]

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 - 2x + 2y - 2 = 0$
   বৃত্তটির কেন্দ্র $= (1, -1)$
   এবং ব্যাসার্ধ, $r = \sqrt{1^2 + (-1)^2 - (-2)} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$ একক।

   উদ্দীপকের স্পর্শকের সমীকরণ: $3x + 4y - 9 = 0$
   উক্ত স্পর্শকের উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ:
   $4x - 3y + k = 0$ ... (i)

   যদি (i) নং রেখাটি উদ্দীপকের বৃত্তের স্পর্শক হয়, তবে কেন্দ্র $(1, -1)$ হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে।
   $\therefore \frac{|4(1) - 3(-1) + k|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = 2$
   $\Rightarrow \frac{|4 + 3 + k|}{\sqrt{16 + 9}} = 2$
   $\Rightarrow \frac{|7 + k|}{5} = 2$
   $\Rightarrow |7 + k| = 10$
   $\Rightarrow 7 + k = \pm 10$

   ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে, $7 + k = 10 \Rightarrow k = 3$
   ঋণাত্মক (-) চিহ্ন নিয়ে, $7 + k = -10 \Rightarrow k = -17$

   $k$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   $4x - 3y + 3 = 0$ এবং $4x - 3y - 17 = 0$।

   অতএব, নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ: $4x - 3y + 3 = 0$ এবং $4x - 3y - 17 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 2x + 2y - 2 = 0$
   বৃত্তের কেন্দ্র $(1, -1)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = 2$ একক।

   (i) $(4, -3)$ বিন্দু হতে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য:
   $L = \sqrt{4^2 + (-3)^2 - 2(4) + 2(-3) - 2}$
   $= \sqrt{16 + 9 - 8 - 6 - 2}$
   $= \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ একক।

   (ii) $(4, -3)$ বিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ:
   $y - (-3) = m(x - 4)$
   $\Rightarrow y + 3 = mx - 4m$
   $\Rightarrow mx - y - (4m + 3) = 0$ ... (1)

   (1) নং রেখাটি প্রদত্ত বৃত্তের স্পর্শক হবে যদি কেন্দ্র $(1, -1)$ থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধ $2$ এর সমান হয়।
   $\therefore \frac{|m(1) - (-1) - (4m + 3)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$
   $\Rightarrow \frac{|m + 1 - 4m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
   $\Rightarrow \frac{|-3m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
   উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
   $\frac{(-3m - 2)^2}{m^2 + 1} = 4$
   $\Rightarrow (3m + 2)^2 = 4(m^2 + 1)$
   $\Rightarrow 9m^2 + 12m + 4 = 4m^2 + 4$
   $\Rightarrow 5m^2 + 12m = 0$
   $\Rightarrow m(5m + 12) = 0$
   $\therefore m = 0$ অথবা $m = -\frac{12}{5}$

   $m = 0$ হলে, (1) নং সমীকরণ হতে পাই:
   $0 \cdot x - y - (0 + 3) = 0 \Rightarrow -y - 3 = 0 \Rightarrow y + 3 = 0$

   $m = -\frac{12}{5}$ হলে, (1) নং সমীকরণ হতে পাই:
   $-\frac{12}{5}x - y - \left(4\left(-\frac{12}{5}\right) + 3\right) = 0$
   $\Rightarrow -\frac{12}{5}x - y - \left(-\frac{48}{5} + 3\right) = 0$
   $\Rightarrow -\frac{12}{5}x - y - \left(-\frac{33}{5}\right) = 0$
   $\Rightarrow -\frac{12}{5}x - y + \frac{33}{5} = 0$
   উভয়পক্ষকে $-5$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $12x + 5y - 33 = 0$

   অতএব, অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $3$ একক এবং স্পর্শকের সমীকরণদ্বয়: $y + 3 = 0$ এবং $12x + 5y - 33 = 0$।