উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $r = 6371\text{ km}$
   ঢাকা ও দিল্লীর মধ্যবর্তী দূরত্ব (চাপের দৈর্ঘ্য), $s = 1882\text{ km}$

   আমরা জানি,
   $s = r\theta$
   বা, $\theta = \frac{s}{r} = \frac{1882}{6371}\text{ radian}$

   কোণটিকে ডিগ্রীতে রূপান্তর করে পাই,
   $\theta = \left(\frac{1882}{6371} \times \frac{180^\circ}{\pi}\right)$
   $= \frac{1882 \times 180^\circ}{6371 \times 3.1416}$
   $\approx 16.925^\circ$ বা $16^\circ 55' 31''$

   অতএব, স্থান দুইটি পৃথিবীর কেন্দ্রে প্রায় $16.93^\circ$ কোণ উৎপন্ন করবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ থেকে চিত্রানুযায়ী,
   $\triangle ABC$-এ,
   $a = BC = 13\text{ cm}$
   $b = CA = 8\text{ cm}$
   $c = AB = 7\text{ cm}$

   কোসাইন সূত্রানুসারে,
   $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
   $= \frac{8^2 + 7^2 - 13^2}{2 \cdot 8 \cdot 7}$
   $= \frac{64 + 49 - 169}{112}$
   $= \frac{-56}{112} = -\frac{1}{2}$

   $\therefore \cos A = \cos 120^\circ$
   $\implies \angle A = 120^\circ$

   অতএব, $\angle A$-এর সাহায্যে $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল:
   $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$
   $= \frac{1}{2} \times 8 \times 7 \times \sin 120^\circ$
   $= 28 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
   $= 14\sqrt{3}\text{ cm}^2 \approx 24.25\text{ cm}^2$

   অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $14\sqrt{3}$ বর্গ সেমি (বা প্রায় $24.25$ বর্গ সেমি)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী,
   $\triangle PQR$-এ $p = 2q$ এবং $P = 3Q$

   আমরা জানি সাইন সূত্রানুসারে,
   $\frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q}$
   $\implies \frac{2q}{\sin 3Q} = \frac{q}{\sin Q}$
   $\implies \frac{2}{\sin 3Q} = \frac{1}{\sin Q}$
   $\implies \sin 3Q = 2\sin Q$
   $\implies 3\sin Q - 4\sin^3 Q = 2\sin Q$
   $\implies \sin Q - 4\sin^3 Q = 0$
   $\implies \sin Q(1 - 4\sin^2 Q) = 0$

   যেহেতু ত্রিভুজের কোণ $Q > 0^\circ$, তাই $\sin Q \neq 0$।
   অতএব,
   $1 - 4\sin^2 Q = 0$
   $\implies \sin^2 Q = \frac{1}{4}$
   $\implies \sin Q = \frac{1}{2}$ [$\because 0^\circ < Q < 180^\circ$, তাই $\sin Q > 0$]
   $\implies Q = 30^\circ$

   তাহলে,
   $P = 3Q = 3 \times 30^\circ = 90^\circ$

   আমরা জানি ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$:
   $P + Q + R = 180^\circ$
   $\implies 90^\circ + 30^\circ + R = 180^\circ$
   $\implies 120^\circ + R = 180^\circ$
   $\implies R = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

   অতএব, $R$ কোণের মান $60^\circ$।