উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=2i^−3j^−k^;B=−i^−4j^+7k^ \mathbf{A}=2 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}} ; \mathbf{B}=-\hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}+7 \hat{\mathrm{k}} এবং তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক P(−3,−2,−1);Q(4,0,−3) \mathrm{P}(-3,-2,-1) ; \mathrm{Q}(4,0,-3) এবং S(6,−7,8) \mathrm{S}(6,-7,8) ।

  1. ক)

    উদাহরণসহ একক ভেক্টর এর সংজ্ঞা দাও।

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপকের আলোকে A বরাবর B এর উপাংশ নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপকের আলোকে △PQS \triangle \mathrm{PQS} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    একক ভেক্টর (Unit Vector):
    যে ভেক্টরের মান এক একক, তাকে একক ভেক্টর বলে। কোনো অশূন্য ভেক্টরকে তার পরমমান (মান) দ্বারা ভাগ করলে ওই ভেক্টরের দিক বরাবর একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়।
    যদি a\mathbf{a} একটি অশূন্য ভেক্টর হয়, তবে a\mathbf{a}-এর দিক বরাবর একক ভেক্টর, a^=a∣a∣\hat{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}।

    উদাহরণ:
    মনে করি, একটি ভেক্টর a=3i^+4j^\mathbf{a} = 3\hat{\mathbf{i}} + 4\hat{\mathbf{j}}।
    এখানে, ভেক্টরের মান ∣a∣=32+42=9+16=25=5|\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5।
    অতএব, a\mathbf{a}-এর দিকে একক ভেক্টর, a^=3i^+4j^5=35i^+45j^\hat{\mathbf{a}} = \frac{3\hat{\mathbf{i}} + 4\hat{\mathbf{j}}}{5} = \frac{3}{5}\hat{\mathbf{i}} + \frac{4}{5}\hat{\mathbf{j}}।
    যার মান ∣a^∣=(35)2+(45)2=1|\hat{\mathbf{a}}| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = 1 একক।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A=2i^−3j^−k^\mathbf{A} = 2\hat{\mathbf{i}} - 3\hat{\mathbf{j}} - \hat{\mathbf{k}}
    B=−i^−4j^+7k^\mathbf{B} = -\hat{\mathbf{i}} - 4\hat{\mathbf{j}} + 7\hat{\mathbf{k}}

    A\mathbf{A} ও B\mathbf{B} এর ডট গুণন:
    A⋅B=(2)(−1)+(−3)(−4)+(−1)(7)=−2+12−7=3\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (2)(-1) + (-3)(-4) + (-1)(7) = -2 + 12 - 7 = 3

    A\mathbf{A} এর মান:
    ∣A∣=22+(−3)2+(−1)2=4+9+1=14|\mathbf{A}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}

    A\mathbf{A} বরাবর B\mathbf{B} এর স্কেলার উপাংশ (বা অভিক্ষেপ):
    =A⋅B∣A∣=314= \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}|} = \frac{3}{\sqrt{14}}

    A\mathbf{A} বরাবর B\mathbf{B} এর ভেক্টর উপাংশ:
    =(A⋅B∣A∣2)A=314(2i^−3j^−k^)=37i^−914j^−314k^= \left(\frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}|^2}\right) \mathbf{A} = \frac{3}{14}(2\hat{\mathbf{i}} - 3\hat{\mathbf{j}} - \hat{\mathbf{k}}) = \frac{3}{7}\hat{\mathbf{i}} - \frac{9}{14}\hat{\mathbf{j}} - \frac{3}{14}\hat{\mathbf{k}}

    উত্তরঃ উপাংশ 314\frac{3}{\sqrt{14}} (স্কেলার উপাংশ) অথবা 314(2i^−3j^−k^)\frac{3}{14}(2\hat{\mathbf{i}} - 3\hat{\mathbf{j}} - \hat{\mathbf{k}}) (ভেক্টর উপাংশ)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
    P(−3,−2,−1)\mathrm{P}(-3,-2,-1), Q(4,0,−3)\mathrm{Q}(4,0,-3) এবং S(6,−7,8)\mathrm{S}(6,-7,8)।

    △PQS\triangle \mathrm{PQS}-এর দুটি সন্নিহিত বাহু ভেক্টর:
    PQ⃗=(4−(−3))i^+(0−(−2))j^+(−3−(−1))k^=7i^+2j^−2k^\vec{\mathrm{PQ}} = (4 - (-3))\hat{\mathbf{i}} + (0 - (-2))\hat{\mathbf{j}} + (-3 - (-1))\hat{\mathbf{k}} = 7\hat{\mathbf{i}} + 2\hat{\mathbf{j}} - 2\hat{\mathbf{k}}
    PS⃗=(6−(−3))i^+(−7−(−2))j^+(8−(−1))k^=9i^−5j^+9k^\vec{\mathrm{PS}} = (6 - (-3))\hat{\mathbf{i}} + (-7 - (-2))\hat{\mathbf{j}} + (8 - (-1))\hat{\mathbf{k}} = 9\hat{\mathbf{i}} - 5\hat{\mathbf{j}} + 9\hat{\mathbf{k}}

    এখন, PQ⃗×PS⃗\vec{\mathrm{PQ}} \times \vec{\mathrm{PS}} নির্ণয় করি:
    PQ⃗×PS⃗=∣i^j^k^72−29−59∣\vec{\mathrm{PQ}} \times \vec{\mathrm{PS}} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 7 & 2 & -2 \\ 9 & -5 & 9 \end{vmatrix}
    =i^(18−10)−j^(63−(−18))+k^(−35−18)= \hat{\mathbf{i}}(18 - 10) - \hat{\mathbf{j}}(63 - (-18)) + \hat{\mathbf{k}}(-35 - 18)
    =8i^−81j^−53k^= 8\hat{\mathbf{i}} - 81\hat{\mathbf{j}} - 53\hat{\mathbf{k}}

    PQ⃗×PS⃗\vec{\mathrm{PQ}} \times \vec{\mathrm{PS}} এর মান:
    ∣PQ⃗×PS⃗∣=82+(−81)2+(−53)2=64+6561+2809=9434|\vec{\mathrm{PQ}} \times \vec{\mathrm{PS}}| = \sqrt{8^2 + (-81)^2 + (-53)^2} = \sqrt{64 + 6561 + 2809} = \sqrt{9434}

    অতএব, △PQS\triangle \mathrm{PQS}-এর ক্ষেত্রফল:
    =12∣PQ⃗×PS⃗∣=129434≈48.56= \frac{1}{2} |\vec{\mathrm{PQ}} \times \vec{\mathrm{PS}}| = \frac{1}{2} \sqrt{9434} \approx 48.56 বর্গ একক।

    উত্তরঃ 129434\frac{1}{2}\sqrt{9434} বর্গ একক (বা প্রায় 48.5648.56 বর্গ একক)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন