উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $y = \sec x$
   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_1 = \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x = y \tan x$

   পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_2 = \frac{d}{dx}(y \tan x) = y_1 \tan x + y \sec^2 x$
   $y_2 = (y \tan x) \tan x + y (1 + \tan^2 x)$
   যেহেতু $\sec^2 x = y^2$, তাই $\tan^2 x = \sec^2 x - 1 = y^2 - 1$।
   অতএব,
   $y_2 = y(y^2 - 1) + y \cdot y^2$
   $y_2 = y^3 - y + y^3$
   $y_2 = 2y^3 - y$
   $y_2 = y(2y^2 - 1)$
   (প্রমাণিত)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-I হতে বক্ররেখার সমীকরণ:
   $y(x+1)(x+2) - x + 4 = 0 \quad \text{--- (i)}$

   বক্ররেখাটি $x$-অক্ষকে ছেদ করলে, ছেদবিন্দুতে $y = 0$ হবে।
   (i) নং সমীকরণে $y = 0$ বসিয়ে পাই,
   $0 - x + 4 = 0 \implies x = 4$
   অতএব, ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(4, 0)$।

   এখন (i) নং সমীকরণকে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
   $\frac{d}{dx}[y(x^2 + 3x + 2) - x + 4] = 0$
   $\frac{dy}{dx}(x^2 + 3x + 2) + y(2x + 3) - 1 = 0$
   $\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y(2x + 3)}{x^2 + 3x + 2}$

   $(4, 0)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল,
   $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4, 0)} = \frac{1 - 0}{(4+1)(4+2)} = \frac{1}{5 \times 6} = \frac{1}{30}$

   $(4, 0)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
   $y - 0 = m(x - 4)$
   $y = \frac{1}{30}(x - 4)$
   $30y = x - 4$
   $\therefore x - 30y - 4 = 0$

   $(4, 0)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ:
   $y - 0 = -\frac{1}{m}(x - 4)$
   $y = -30(x - 4)$
   $y = -30x + 120$
   $\therefore 30x + y - 120 = 0$

   উত্তর: স্পর্শকের সমীকরণ $x - 30y - 4 = 0$ এবং অভিলম্বের সমীকরণ $30x + y - 120 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-II হতে ফাংশনটি হলো:
   $h(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x^2 - 12x + 1 = 2x^3 - 6x^2 - 12x + 1$

   $x$-এর সাপেক্ষে পরপর দুইবার অন্তরীকরণ করে পাই:
   $h'(x) = 6x^2 - 12x - 12$
   $h''(x) = 12x - 12$

   চরমমানের জন্য, $h'(x) = 0$
   $6x^2 - 12x - 12 = 0$
   $x^2 - 2x - 2 = 0$
   $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

   (i) যখন $x = 1 - \sqrt{3}$:
   $h''(1 - \sqrt{3}) = 12(1 - \sqrt{3}) - 12 = -12\sqrt{3} < 0$
   সুতরাং, $x = 1 - \sqrt{3}$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।
   গুরুমান,
   $h(1 - \sqrt{3}) = 2(1 - \sqrt{3})^3 - 6(1 - \sqrt{3})^2 - 12(1 - \sqrt{3}) + 1$
   $= 2(1 - 3\sqrt{3} + 9 - 3\sqrt{3}) - 6(1 - 2\sqrt{3} + 3) - 12 + 12\sqrt{3} + 1$
   $= 2(10 - 6\sqrt{3}) - 6(4 - 2\sqrt{3}) - 11 + 12\sqrt{3}$
   $= 20 - 12\sqrt{3} - 24 + 12\sqrt{3} - 11 + 12\sqrt{3}$
   $= 12\sqrt{3} - 15$

   (ii) যখন $x = 1 + \sqrt{3}$:
   $h''(1 + \sqrt{3}) = 12(1 + \sqrt{3}) - 12 = 12\sqrt{3} > 0$
   সুতরাং, $x = 1 + \sqrt{3}$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।
   লঘুমান,
   $h(1 + \sqrt{3}) = 2(1 + \sqrt{3})^3 - 6(1 + \sqrt{3})^2 - 12(1 + \sqrt{3}) + 1$
   $= 2(1 + 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3}) - 6(1 + 2\sqrt{3} + 3) - 12 - 12\sqrt{3} + 1$
   $= 2(10 + 6\sqrt{3}) - 6(4 + 2\sqrt{3}) - 11 - 12\sqrt{3}$
   $= 20 + 12\sqrt{3} - 24 - 12\sqrt{3} - 11 - 12\sqrt{3}$
   $= -15 - 12\sqrt{3}$

   উত্তর: ফাংশনটির গুরুমান $12\sqrt{3} - 15$ এবং লঘুমান $-15 - 12\sqrt{3}$।