উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $I = \int \frac{1}{e^{-x} + 1} dx$
   $= \int \frac{1}{\frac{1}{e^x} + 1} dx$
   $= \int \frac{e^x}{e^x + 1} dx$

   এখন, ধরি $e^x + 1 = z$
   $\therefore e^x dx = dz$

   তাহলে,
   $I = \int \frac{dz}{z} = \ln|z| + c = \ln(e^x + 1) + c$

   উত্তর: $\ln(e^x + 1) + c$ (যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে, $f(x) = \sin x$
   $\therefore f'(x) = \cos x$

   প্রদত্ত যোগজ,
   $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f'(x)}{[\{f(x)\}^2 - 16]\{f(x) - 3\}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{(\sin^2 x - 16)(\sin x - 3)} dx$

   ধরি, $\sin x = z$
   $\therefore \cos x dx = dz$

   সীমা পরিবর্তন:
   যখন $x = 0$, তখন $z = \sin 0 = 0$
   যখন $x = \frac{\pi}{2}$, তখন $z = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

   অতএব,
   $I = \int_{0}^{1} \frac{dz}{(z^2 - 16)(z - 3)} = \int_{0}^{1} \frac{dz}{(z - 4)(z + 4)(z - 3)}$

   আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি:
   $\frac{1}{(z - 4)(z + 4)(z - 3)} = \frac{A}{z - 4} + \frac{B}{z + 4} + \frac{C}{z - 3}$

   কভার-আপ (Cover-up) পদ্ধতির সাহায্যে:
   $A = \frac{1}{(4 + 4)(4 - 3)} = \frac{1}{8 \times 1} = \frac{1}{8}$
   $B = \frac{1}{(-4 - 4)(-4 - 3)} = \frac{1}{(-8)(-7)} = \frac{1}{56}$
   $C = \frac{1}{(3 - 4)(3 + 4)} = \frac{1}{(-1)(7)} = -\frac{1}{7}$

   তাহলে,
   $I = \int_{0}^{1} \left[ \frac{1}{8(z - 4)} + \frac{1}{56(z + 4)} - \frac{1}{7(z - 3)} \right] dz$
   $= \left[ \frac{1}{8} \ln|z - 4| + \frac{1}{56} \ln|z + 4| - \frac{1}{7} \ln|z - 3| \right]_0^1$

   উর্ধ্বসীমা ($z = 1$) বসিয়ে:
   $\frac{1}{8} \ln|-3| + \frac{1}{56} \ln|5| - \frac{1}{7} \ln|-2| = \frac{1}{8} \ln 3 + \frac{1}{56} \ln 5 - \frac{1}{7} \ln 2$

   নিম্নসীমা ($z = 0$) বসিয়ে:
   $\frac{1}{8} \ln|-4| + \frac{1}{56} \ln|4| - \frac{1}{7} \ln|-3| = \frac{1}{8} \ln 4 + \frac{1}{56} \ln 4 - \frac{1}{7} \ln 3$
   $= \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{56}\right) \ln 4 - \frac{1}{7} \ln 3 = \frac{8}{56} \ln 4 - \frac{1}{7} \ln 3 = \frac{1}{7} \ln 4 - \frac{1}{7} \ln 3 = \frac{2}{7} \ln 2 - \frac{1}{7} \ln 3$

   অতএব,
   $I = \left( \frac{1}{8} \ln 3 + \frac{1}{56} \ln 5 - \frac{1}{7} \ln 2 \right) - \left( \frac{2}{7} \ln 2 - \frac{1}{7} \ln 3 \right)$
   $= \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{7} \right) \ln 3 + \frac{1}{56} \ln 5 - \left( \frac{1}{7} + \frac{2}{7} \right) \ln 2$
   $= \frac{15}{56} \ln 3 + \frac{1}{56} \ln 5 - \frac{3}{7} \ln 2$
   $= \frac{1}{56} (15 \ln 3 + \ln 5 - 24 \ln 2)$

   উত্তর: $\frac{1}{56} (15 \ln 3 + \ln 5 - 24 \ln 2)$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 = 32y$
   $\implies x^2 = 4 \cdot 8 \cdot y$

   এটি $x^2 = 4ay$ আকারের পরাবৃত্ত, যেখানে $a = 8$।
   পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $(0, 0)$ এবং উপকেন্দ্র $S(0, a) = (0, 8)$।
   উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: $y = 8$

   পরাবৃত্ত ও উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
   ক্ষেত্রটি $y$-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম।
   অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $= 2 \int_{0}^{8} x \, dy$

   যেহেতু $x^2 = 32y$, তাই প্রথম চতুর্ভাগে $x = \sqrt{32y} = 4\sqrt{2} \sqrt{y}$

   তাহলে ক্ষেত্রফল,
   $A = 2 \int_{0}^{8} 4\sqrt{2} y^{\frac{1}{2}} \, dy$
   $= 8\sqrt{2} \left[ \frac{y^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{8}$
   $= 8\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ 8^{\frac{3}{2}} - 0 \right]$
   $= \frac{16\sqrt{2}}{3} \cdot (2\sqrt{2})^3$
   $= \frac{16\sqrt{2}}{3} \cdot (16\sqrt{2})$
   $= \frac{16 \times 16 \times 2}{3} = \frac{512}{3}$ বর্গ একক।

   উত্তর: $\frac{512}{3}$ বর্গ একক।