দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল 11+−3\frac{1}{1+\sqrt{-3}} হলে সমীকরণটি হবে-

Question

দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল 11+−3\frac{1}{1+\sqrt{-3}} হলে সমীকরণটি হবে-

Accepted Answer

ক. 4x2−2x+1=04x^2-2x+1=0

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত একটি মূল $\alpha = \frac{1}{1 + \sqrt{-3}} = \frac{1}{1 + i\sqrt{3}}$।
হর ও লবকে $(1 - i\sqrt{3})$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$\alpha = \frac{1 - i\sqrt{3}}{(1 + i\sqrt{3})(1 - i\sqrt{3})} = \frac{1 - i\sqrt{3}}{1 - (-3)} = \frac{1 - i\sqrt{3}}{4}$।
যেহেতু সহগগুলো বাস্তব, তাই অপর জটিল মূলটি হবে এর অনুবন্ধী, অর্থাৎ $\beta = \frac{1 + i\sqrt{3}}{4}$।
মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha + \beta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।
মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha\beta = \frac{1^2 - (i\sqrt{3})^2}{16} = \frac{1 + 3}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$।
অতএব নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ:
$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 \implies x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} = 0 \implies 4x^2 - 2x + 1 = 0$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন