উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 4x - 2y + 4 = 0$

   $(2, 2)$ বিন্দু হতে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য:
   $L = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4(2) - 2(2) + 4}$
   $= \sqrt{4 + 4 + 8 - 4 + 4} = \sqrt{16} = 4\text{ একক}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের ১ম চিত্রে, বৃত্তটির কেন্দ্র $C(5, 2)$ এবং স্পর্শক রেখার সমীকরণ:
   $5x + 12y + 16 = 0 \quad \dots (i)$

   স্পর্শবিন্দু $D$ হলো $C(5, 2)$ বিন্দু থেকে $(i)$ নং রেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু।

   $CD$ রেখাটি স্পর্শকের ওপর লম্ব, সুতরাং এর সমীকরণ:
   $12x - 5y + k = 0$
   রেখাটি $C(5, 2)$ বিন্দুগামী হওয়ায়:
   $12(5) - 5(2) + k = 0 \implies 60 - 10 + k = 0 \implies k = -50$
   অতএব, $CD$ রেখার সমীকরণ:
   $12x - 5y - 50 = 0 \quad \dots (ii)$

   এখন $(i)$ ও $(ii)$ সমাধান করে পাই:
   $(i) \times 5 + (ii) \times 12$ করে:
   $25x + 60y + 80 + 144x - 60y - 600 = 0$
   $\implies 169x - 520 = 0$
   $\implies 169x = 520 \implies x = \frac{520}{169} = \frac{40}{13}$

   $x$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   $5\left(\frac{40}{13}\right) + 12y + 16 = 0$
   $\implies \frac{200}{13} + 16 + 12y = 0$
   $\implies \frac{408}{13} + 12y = 0$
   $\implies 12y = -\frac{408}{13} \implies y = -\frac{34}{13}$

   সুতরাং, স্পর্শবিন্দু $D$-এর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{40}{13}, -\frac{34}{13}\right)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, নির্ণেয় বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \quad \dots (i)$

   চিত্রানুযায়ী বৃত্তটি $Y$-অক্ষকে $(0, 6)$ বিন্দুতে স্পর্শ করে।
   যেহেতু বৃত্তটি $Y$-অক্ষকে স্পর্শ করে, সুতরাং:
   $c = f^2$
   এবং স্পর্শবিন্দুটি $(0, 6)$ হওয়ায়:
   $-f = 6 \implies f = -6$
   অতএব, $c = (-6)^2 = 36$।

   আবার, $X$-অক্ষ হতে বৃত্তটি দ্বারা খণ্ডিত জ্যা $AB = 16$ একক।
   আমরা জানি, $X$-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য $= 2\sqrt{g^2 - c}$
   $\therefore 2\sqrt{g^2 - 36} = 16$
   $\implies \sqrt{g^2 - 36} = 8$
   $\implies g^2 - 36 = 64$
   $\implies g^2 = 100 \implies g = \pm 10$

   চিত্রানুযায়ী, বৃত্তটি ১ম ও ৪র্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত এবং এর কেন্দ্র ১ম চতুর্ভাগে হওয়ায় কেন্দ্রের ভুজ $-g > 0$, অর্থাৎ $g = -10$।
   [সাধারণ ক্ষেত্রে $g = \pm 10$]

   অতএব, বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2(-10)x + 2(-6)y + 36 = 0$
   $\implies x^2 + y^2 - 20x - 12y + 36 = 0$
   (উভয় মান বিবেচনা করলে সমীকরণদ্বয়: $x^2 + y^2 \pm 20x - 12y + 36 = 0$)।