উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: দৃশ্যকল্প-১ এ '3\sin^{-1}' এর স্থলে ' \sin^{-1}' হওয়া স্বাভাবিক বোর্ড প্রশ্নের মূল রূপ ছিল, কারণ তাতেই 'A = \tan^{-1} 3' প্রমাণ সম্ভব।

   প্রদত্ত রাশি:
   $\cos^{-1}\left(\sin\left(\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$

   আমরা জানি, $\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$

   অতএব,
   $\sin\left(\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

   সুতরাং,
   $\cos^{-1}\left(\sin\left(\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$

   নির্ণেয় মুখ্য মান: $\frac{\pi}{4}$

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: দৃশ্যকল্প-১ এ '3\sin^{-1}' এর স্থলে ' \sin^{-1}' হওয়া স্বাভাবিক বোর্ড প্রশ্নের মূল রূপ ছিল, কারণ তাতেই 'A = \tan^{-1} 3' প্রমাণ সম্ভব।

   দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত সমীকরণে একটি দৃশ্যমান মুদ্রণ ত্রুটি রয়েছে।

   [সংশোধিত রূপানুযায়ী প্রমাণ (উদ্দিষ্ট প্রশ্ন)]:
   ধরি উদ্দীপকটি: $A = \sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}} + \cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}$
   আমরা জানি, $\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}} = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$
   আবার, ধরি $\theta = \cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}$
   $\therefore \cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}} \implies \tan\theta = \frac{\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2}}{2} = \frac{1}{2} \implies \theta = \tan^{-1}\frac{1}{2}$

   অতএব,
   $A = \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
   $\implies A = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{2}}\right)$
   $\implies A = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\right) = \tan^{-1} 3$ (দেখানো হলো)।

   ---

   [হুবহু প্রদত্ত প্রশ্নানুযায়ী]:
   $A = 3\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}} + \cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}} = 3\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan^{-1}\frac{1}{2} = \frac{3\pi}{4} + \tan^{-1}\frac{1}{2}$
   $\tan A = \tan\left(\frac{3\pi}{4} + \tan^{-1}\frac{1}{2}\right) = \frac{\tan\frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2}}{1 - \tan\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-1 + \frac{1}{2}}{1 - (-1)\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3}$
   এক্ষেত্রে $A = \pi - \tan^{-1}\frac{1}{3} \neq \tan^{-1} 3$।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: দৃশ্যকল্প-১ এ '3\sin^{-1}' এর স্থলে ' \sin^{-1}' হওয়া স্বাভাবিক বোর্ড প্রশ্নের মূল রূপ ছিল, কারণ তাতেই 'A = \tan^{-1} 3' প্রমাণ সম্ভব।

   দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,
   $f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $2\{f(x)\}^2 - 11f(x) + 5 = 0$
   $\implies 2\sin^2 x - 11\sin x + 5 = 0$
   $\implies 2\sin^2 x - 10\sin x - \sin x + 5 = 0$
   $\implies 2\sin x(\sin x - 5) - 1(\sin x - 5) = 0$
   $\implies (2\sin x - 1)(\sin x - 5) = 0$

   যেহেতু যেকোনো বাস্তব $x$ এর জন্য $-1 \leq \sin x \leq 1$, তাই $\sin x - 5 \neq 0$।

   সুতরাং,
   $2\sin x - 1 = 0$
   $\implies \sin x = \frac{1}{2}$

   যেহেতু শর্তানুযায়ী $0 \leq x \leq 2\pi$:
   ১ম চতুর্ভাগে: $x = \frac{\pi}{6}$
   ২য় চতুর্ভাগে: $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

   নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$