পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর (নাবল বা ডেল, ∇)-এর সাথে কোনো ভেক্টর রাশির ডট বা স্কেলার গুণনকে ডাইভারজেন্স বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই সরলরেখা বরাবর বা পরস্পর সমান্তরালে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলা হয়। অন্যদিকে, দুটি ভেক্টর সমজাতীয়, সমান মানসম্পন্ন এবং একই অভিমুখী হলে তবেই তারা সমান ভেক্টর হয়।

   সমরেখ ভেক্টরসমূহের দিক একই বা বিপরীত হতে পারে এবং এদের মান সমান বা অসমানও হতে পারে। কিন্তু সমান ভেক্টর হওয়ার জন্য দিক একই হওয়ার পাশাপাশি মানও অবশ্যই সমান হতে হবে। অর্থাৎ, দুটি সমরেখ ভেক্টরের মান অসমান হলে অথবা দিক বিপরীত হলে তারা সমান ভেক্টর হতে পারে না। তাই সকল সমরেখ ভেক্টর সমান ভেক্টর নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   করিমের সাঁতারের বেগ, $v_k = 8\text{ ms}^{-1}$
   স্রোতের বেগ, $u = 1\text{ ms}^{-1}$
   স্রোতের বেগের সাথে করিমের বেগের মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha_k = 120^\circ$

   করিম স্রোত ও নিজের বেগের লব্ধি বেগে অপর পাড়ে পৌঁছাবে। লব্ধি বেগের মান $w_k$ হলে—
   $w_k = \sqrt{u^2 + v_k^2 + 2 u v_k \cos\alpha_k}$
   $w_k = \sqrt{(1)^2 + (8)^2 + 2 \times 1 \times 8 \times \cos 120^\circ}$
   $w_k = \sqrt{1 + 64 + 16 \times (-0.5)}$
   $w_k = \sqrt{65 - 8} = \sqrt{57} \approx 7.55\text{ ms}^{-1}$

   অতএব, করিম প্রায় $7.55\text{ ms}^{-1}$ বেগে অপর পাড়ে পৌঁছাবে।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে,
   নদীর প্রস্থ, $d = 500\text{ m}$
   স্রোতের বেগ, $u = 1\text{ ms}^{-1}$

   রহিমের ক্ষেত্রে:
   রহিমের বেগ, $v_r = 7.5\text{ ms}^{-1}$
   স্রোতের সাথে রহিমের কোণ, $\alpha_r = 90^\circ$
   নদী পার হতে রহিমের প্রয়োজনীয় সময় $t_r$ হলে,
   $t_r = \frac{d}{v_r \sin\alpha_r} = \frac{500}{7.5 \times \sin 90^\circ} = \frac{500}{7.5 \times 1} \approx 66.67\text{ s}$

   করিমের ক্ষেত্রে:
   করিমের বেগ, $v_k = 8\text{ ms}^{-1}$
   স্রোতের সাথে করিমের কোণ, $\alpha_k = 120^\circ$
   নদী পার হতে করিমের প্রয়োজনীয় সময় $t_k$ হলে,
   $t_k = \frac{d}{v_k \sin\alpha_k} = \frac{500}{8 \times \sin 120^\circ} = \frac{500}{8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{500}{4\sqrt{3}} \approx 72.17\text{ s}$

   গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, $t_r < t_k$, অর্থাৎ রহিম নদী পার হতে করিমের চেয়ে কম সময় নেয়।
   সুতরাং, রহিম ও করিমের মধ্যে রহিম আগে অপর পাড়ে পৌঁছাবে।