উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = \sin x$
   অতএব, $g(3x) = \sin(3x)$

   আমরা জানি, $\sin(bx)$ আকারের ফাংশনের পর্যায় বা পর্যায়কাল হলো $\frac{2\pi}{|b|}$।

   এখানে, $b = 3$
   অতএব, $g(3x)$ এর পর্যায় = $\frac{2\pi}{3}$ (বা $120^\circ$)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f: A \to B$, যেখানে $A = \mathbb{R} - \{3\}$, $B = \mathbb{R} - \{1\}$ এবং $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$।

   এক-এক (One-to-one) প্রমাণ:
   ধরি, $x_1, x_2 \in A$
   $f(x_1) = f(x_2)$
   $\Rightarrow \frac{x_1 - 2}{x_1 - 3} = \frac{x_2 - 2}{x_2 - 3}$
   $\Rightarrow (x_1 - 2)(x_2 - 3) = (x_2 - 2)(x_1 - 3)$
   $\Rightarrow x_1 x_2 - 3x_1 - 2x_2 + 6 = x_1 x_2 - 3x_2 - 2x_1 + 6$
   $\Rightarrow -3x_1 - 2x_2 = -3x_2 - 2x_1$
   $\Rightarrow -3x_1 + 2x_1 = -3x_2 + 2x_2$
   $\Rightarrow -x_1 = -x_2$
   $\Rightarrow x_1 = x_2$
   যেহেতু $f(x_1) = f(x_2)$ হলে $x_1 = x_2$ হয়, সুতরাং $f(x)$ ফাংশনটি এক-এক।

   সার্বিক (Onto) প্রমাণ:
   ধরি, $y \in B = \mathbb{R} - \{1\}$ এবং $y = f(x)$
   $\Rightarrow y = \frac{x-2}{x-3}$
   $\Rightarrow y(x - 3) = x - 2$
   $\Rightarrow xy - 3y = x - 2$
   $\Rightarrow xy - x = 3y - 2$
   $\Rightarrow x(y - 1) = 3y - 2$
   $\Rightarrow x = \frac{3y - 2}{y - 1}$

   যেহেতু $y \in B$, অর্থাৎ $y \neq 1$, তাই $y$ এর প্রতিটি মানের জন্য $x$ সংজ্ঞায়িত।
   যদি $x = 3$ হয়, তবে:
   $3 = \frac{3y - 2}{y - 1} \Rightarrow 3y - 3 = 3y - 2 \Rightarrow -3 = -2$, যা অসম্ভব।
   অতএব, $x \neq 3$, অর্থাৎ $x \in A$।
   সুতরাং, কোডোমেন $B$-এর যেকোনো মানের জন্য ডোমেন $A$-তে একটি প্রাক-প্রতিচ্ছবি $x$ বিদ্যমান, অর্থাৎ $f(A) = B$ (রেঞ্জ = কোডোমেন)।
   অতএব, ফাংশনটি সার্বিক (onto)।

   $f^{-1}$ নির্ণয়:
   যেহেতু $y = f(x)$, সুতরাং $x = f^{-1}(y)$
   আমরা পেয়েছি, $x = \frac{3y - 2}{y - 1}$
   $\therefore f^{-1}(y) = \frac{3y - 2}{y - 1}$
   চলক পরিবর্তন করে পাই,
   $f^{-1}(x) = \frac{3x - 2}{x - 1}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = \sin x$
   প্রদত্ত সমীকরণ: $g(x) = g\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$
   $\Rightarrow \sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$
   $\Rightarrow \sin x = \cos x$

   ধরি, $y_1 = \sin x$ এবং $y_2 = \cos x$, যেখানে $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ বা $0^\circ \le x \le 90^\circ$।

   মান নির্ণয়:
   $x$-এর বিভিন্ন মানের জন্য $y_1$ ও $y_2$-এর মান নির্ণয় করে সারণি তৈরি করি:

   $x$	$0^\circ$	$15^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$75^\circ$	$90^\circ$
   $y_1 = \sin x$	$0$	$0.26$	$0.50$	$0.71$	$0.87$	$0.97$	$1.00$
   $y_2 = \cos x$	$1.00$	$0.97$	$0.87$	$0.71$	$0.50$	$0.26$	$0$

   লেখচিত্র অঙ্কন ও সমাধান:
   ছক কাগজে $X$-অক্ষ বরাবর সুবিধাজনক স্কেলে $x$-এর মান এবং $Y$-অক্ষ বরাবর $y_1$ ও $y_2$-এর মান স্থাপন করে বিন্দুগুলোকে মসৃণ বক্ররেখা দ্বারা যুক্ত করি। ফলে $y = \sin x$ এবং $y = \cos x$-এর লেখচিত্র পাওয়া যায়।

   লেখচিত্র দুটি পরস্পরকে একটি সাধারণ বিন্দুতে ছেদ করে। সারণি ও লেখচিত্র হতে দেখা যায়, $x = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ বিন্দুতে উভয় ফাংশনের মান $y_1 = y_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.71$।

   অতএব, ছেদবিন্দুর ভুজ $x = \frac{\pi}{4}$।

   সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{\pi}{4}$।