উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে অধিবৃত্তের সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$
   এখানে, $a^2 = 4$ এবং $b^2 = 3$
   আমরা জানি, অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$
   $= \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

   অতএব, নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{\sqrt{7}}{2}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রে কণিকটির উপকেন্দ্র $S(-2, 2)$ এবং শীর্ষবিন্দু $A(1, -2)$।
   নিয়ামকরেখা $MZM'$ এবং অক্ষরেখা $SZ$ পরস্পর লম্ব এবং শীর্ষবিন্দু $A$, $SZ$ রেখাংশের মধ্যবিন্দু (যেহেতু কণিকটি পরাবৃত্ত আকৃতির ধরা হলে $SA = AZ$)।

   ধরি, $Z$-এর স্থানাঙ্ক $(\alpha, \beta)$।
   যেহেতু $A(1, -2)$ হলো $SZ$-এর মধ্যবিন্দু:
   $\frac{\alpha + (-2)}{2} = 1 \implies \alpha - 2 = 2 \implies \alpha = 4$
   $\frac{\beta + 2}{2} = -2 \implies \beta + 2 = -4 \implies \beta = -6$
   অতএব, $Z$-এর স্থানাঙ্ক $(4, -6)$।

   এখন, অক্ষরেখা $SZ$-এর ঢাল, $m = \frac{-2 - 2}{1 - (-2)} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$

   নিয়ামকরেখা $MZM'$, অক্ষরেখা $SZ$-এর ওপর লম্ব।
   সুতরাং, নিয়ামকরেখার ঢাল $m' = -\frac{1}{m} = \frac{3}{4}$

   অতএব, $Z(4, -6)$ বিন্দুগামী নিয়ামকরেখা $MZM'$-এর সমীকরণ:
   $y - (-6) = \frac{3}{4}(x - 4)$
   $\implies 4(y + 6) = 3(x - 4)$
   $\implies 4y + 24 = 3x - 12$
   $\implies 3x - 4y - 36 = 0$

   নির্ণেয় সমীকরণ: $3x - 4y - 36 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   উপকেন্দ্র $S(-2, 2)$
   $\frac{SP}{PM} = \frac{1}{2} \implies e = \frac{1}{2}$
   এবং নিয়ামকরেখা $MZM'$-এর সমীকরণ: $3x + 4y - 1 = 0$

   ধরি, কণিকের ওপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$।
   $S(-2, 2)$ থেকে $P(x, y)$-এর দূরত্ব,
   $SP = \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 2)^2}$

   $P(x, y)$ বিন্দু থেকে নিয়ামকরেখা $3x + 4y - 1 = 0$-এর লম্বদূরত্ব,
   $PM = \frac{|3x + 4y - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3x + 4y - 1|}{\sqrt{25}} = \frac{|3x + 4y - 1|}{5}$

   কণিকের সংজ্ঞানুসারে,
   $SP = e \cdot PM$
   $\implies SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
   $\implies (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{(3x + 4y - 1)^2}{25}$
   $\implies (x^2 + 4x + 4 + y^2 - 4y + 4) = \frac{1}{100}(3x + 4y - 1)^2$
   $\implies 100(x^2 + y^2 + 4x - 4y + 8) = (3x + 4y - 1)^2$
   $\implies 100x^2 + 100y^2 + 400x - 400y + 800 = 9x^2 + 16y^2 + 1 + 24xy - 6x - 8y$
   $\implies 91x^2 - 24xy + 84y^2 + 406x - 392y + 799 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় কণিকের সমীকরণ:
   $91x^2 - 24xy + 84y^2 + 406x - 392y + 799 = 0$।