উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, এককের ঘনমূল নির্ণয়ের জন্য,
   x³ = 1
   ⇒ x³ - 1 = 0
   ⇒ (x - 1)(x² + x + 1) = 0

   যেহেতু ω এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল, সুতরাং ω, x² + x + 1 = 0 সমীকরণের একটি মূল।
   অর্থাৎ, ω² + ω + 1 = 0।

   আবার, মূল সমীকরণ x³ - 1 = 0 এ x = ω বসালে পাই,
   ω³ - 1 = 0
   ⇒ ω³ = 1 (দেখানো হলো)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   f(x) = 2x + √3 i + 1 এবং h(x) = 2x - √3 i + 1

   f(p) = 0 হলে,
   2p + √3 i + 1 = 0
   ⇒ 2p = -1 - √3 i
   ⇒ p = (-1 - √3 i) / 2 = ω² (বা ω)

   h(q) = 0 হলে,
   2q - √3 i + 1 = 0
   ⇒ 2q = -1 + √3 i
   ⇒ q = (-1 + √3 i) / 2 = ω (বা ω²)

   ধরি, p = ω² এবং q = ω।
   তাহলে, pⁿ + qⁿ = (ω²ⁿ) + ωⁿ = ω²ⁿ + ωⁿ

   ক্ষেত্র ১: যখন n, 3 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ n = 3k (যেখানে k একটি পূর্ণসংখ্যা):
   ωⁿ = ω³ᵏ = (ω³)ᵏ = 1ᵏ = 1
   ω²ⁿ = (ω³)²ᵏ = 1
   ∴ pⁿ + qⁿ = 1 + 1 = 2।

   ক্ষেত্র ২: যখন n, 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়:
   (i) n = 3k + 1 হলে,
   ωⁿ = ω³ᵏ⁺¹ = ω এবং ω²ⁿ = ω⁶ᵏ⁺² = ω²
   ∴ pⁿ + qⁿ = ω² + ω = -1 (যেহেতু 1 + ω + ω² = 0)

   (ii) n = 3k + 2 হলে,
   ωⁿ = ω³ᵏ⁺² = ω² এবং ω²ⁿ = ω⁶ᵏ⁺⁴ = ω⁴ = ω
   ∴ pⁿ + qⁿ = ω + ω² = -1

   অতএব, pⁿ + qⁿ = 2 যখন n, 3 দ্বারা বিভাজ্য এবং -1 যখন n অপর যেকোনো পূর্ণসংখ্যা। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, g(x) = x + 1
   এবং z = p + iq (যেখানে সঞ্চারপথের চলক হিসেবে (x, y) বিবেচনা করলে z = x + iy ধরা যায়)।

   g(z - 1) = (z - 1) + 1 = z
   g(z + 1) = (z + 1) + 1 = z + 2

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   |g(z - 1)| + |g(z + 1)| = 5
   ⇒ |z| + |z + 2| = 5

   z = x + iy বসালে,
   |x + iy| + |(x + 2) + iy| = 5
   ⇒ √(x² + y²) + √((x + 2)² + y²) = 5
   ⇒ √((x + 2)² + y²) = 5 - √(x² + y²)

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   (x + 2)² + y² = 25 - 10√(x² + y²) + x² + y²
   ⇒ x² + 4x + 4 + y² = 25 - 10√(x² + y²) + x² + y²
   ⇒ 4x + 4 = 25 - 10√(x² + y²)
   ⇒ 10√(x² + y²) = 21 - 4x

   পুনরায় উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   100(x² + y²) = (21 - 4x)²
   ⇒ 100x² + 100y² = 441 - 168x + 16x²
   ⇒ 84x² + 100y² + 168x - 441 = 0
   ⇒ 84(x² + 2x + 1) + 100y² = 441 + 84
   ⇒ 84(x + 1)² + 100y² = 525
   ⇒ (x + 1)² / (525/84) + y² / (525/100) = 1
   ⇒ (x + 1)² / (25/4) + y² / (21/4) = 1

   এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
   সঞ্চারপথের প্রকৃতি: উপবৃত্ত (Ellipse)।