f(x)=ln⁡(2x) f(x) = \ln(2x) হলে—i. f′(x)=1x f'(x) = \frac{1}{x} ii. ∫f(x)dx=x(ln⁡∣2x∣−1)+c \int f(x) dx = x (\ln|2x| - 1) + c iii. ∫112f(x)dx=12−ln⁡2 \int_1^{\frac{1}{2}} f(x) dx = \frac{1}{2} - \ln 2 নিচের কোনটি সঠিক?

Question

Accepted Answer

ঘ. i, ii ও iii

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত $f(x) = \ln(2x)$।

i. $f'(x) = \frac{d}{dx}[\ln(2x)] = \frac{1}{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$ (সঠিক)।

ii. $\int f(x) dx = \int \ln(2x) \cdot 1 \, dx$
ইউ-ভি পদ্ধতিতে (Integration by parts):
$= \ln(2x) \cdot x - \int \left(\frac{1}{x} \cdot x\right) dx = x\ln(2x) - x + c = x(\ln|2x| - 1) + c$ (সঠিক)।

iii. $\int_1^{\frac{1}{2}} f(x) dx = [x(\ln(2x) - 1)]_1^{\frac{1}{2}}$
$= \frac{1}{2}\left(\ln\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) - 1\right) - 1\left(\ln(2 \cdot 1) - 1\right)$
$= \frac{1}{2}(\ln 1 - 1) - (\ln 2 - 1)$
$= \frac{1}{2}(0 - 1) - \ln 2 + 1 = -\frac{1}{2} - \ln 2 + 1 = \frac{1}{2} - \ln 2$ (সঠিক)।

সুতরাং i, ii ও iii—তিনটি উক্তিই সঠিক।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন