উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[1−236],B=[3721],C=[0128]M=[x+2y+3z2x+y+4z3x+2y+z] এবং N=[−123] \begin{array}{l}A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \ 3 & 6\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}3 & 7 \ 2 & 1\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \ 2 & 8\end{array}\right] \ M=\left[\begin{array}{ll}x+2 y+3 z \quad 2 x+y+4 z \quad 3 x+2 y+z\end{array}\right] \text { এবং } N=\left[\begin{array}{lll}-1 & 2 & 3\end{array}\right]\end{array}

  1. ক)

    দুইটি ম্যাট্রিক্স সমান হওয়ার শর্তগুলো কী কী?

    (2)
  2. খ)

    AB+B′−2C \mathrm{AB}+\mathrm{B}^{\prime}-2 \mathrm{C} নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    M=N হলে ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দুইটি ম্যাট্রিক্স সমান হওয়ার শর্তগুলো হলো:
    ১. ম্যাট্রিক্স দুইটির ক্রম বা মাত্রা (order) একই হতে হবে।
    ২. একটি ম্যাট্রিক্সের প্রত্যেকটি ভুক্তি অপর ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ ভুক্তির সমান হতে হবে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A=[1−236]A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=[3721]B = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, C=[0128]C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}

    AB=[1−236][3721]=[1(3)+(−2)(2)1(7)+(−2)(1)3(3)+6(2)3(7)+6(1)]=[−152127]AB = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(3) + (-2)(2) & 1(7) + (-2)(1) \\ 3(3) + 6(2) & 3(7) + 6(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 21 & 27 \end{bmatrix}

    B′=[3271]B' = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}

    2C=2[0128]=[02416]2C = 2\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 16 \end{bmatrix}

    ∴AB+B′−2C=[−152127]+[3271]−[02416]=[−1+3−05+2−221+7−427+1−16]=[252412]\therefore AB + B' - 2C = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 21 & 27 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+3-0 & 5+2-2 \\ 21+7-4 & 27+1-16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 24 & 12 \end{bmatrix}

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    শর্তমতে, M=NM = N
    ∴[x+2y+3z2x+y+4z3x+2y+z]=[−123]\therefore [x+2y+3z \quad 2x+y+4z \quad 3x+2y+z] = [-1 \quad 2 \quad 3]

    ম্যাট্রিক্সের সমতানুসারে,
    x+2y+3z=−1x + 2y + 3z = -1
    2x+y+4z=22x + y + 4z = 2
    3x+2y+z=33x + 2y + z = 3

    ক্রেমারের নিয়ম অনুযায়ী:
    D=∣123214321∣=1(1−8)−2(2−12)+3(4−3)=−7+20+3=16≠0D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 8) - 2(2 - 12) + 3(4 - 3) = -7 + 20 + 3 = 16 \neq 0

    Dx=∣−123214321∣=−1(1−8)−2(2−12)+3(4−3)=7+20+3=30D_x = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -1(1 - 8) - 2(2 - 12) + 3(4 - 3) = 7 + 20 + 3 = 30

    Dy=∣1−13224331∣=1(2−12)−(−1)(2−12)+3(6−6)=−10−10+0=−20D_y = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(2 - 12) - (-1)(2 - 12) + 3(6 - 6) = -10 - 10 + 0 = -20

    Dz=∣12−1212323∣=1(3−4)−2(6−6)+(−1)(4−3)=−1−0−1=−2D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(3 - 4) - 2(6 - 6) + (-1)(4 - 3) = -1 - 0 - 1 = -2

    ∴x=DxD=3016=158\therefore x = \frac{D_x}{D} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8}
    y=DyD=−2016=−54y = \frac{D_y}{D} = \frac{-20}{16} = -\frac{5}{4}
    z=DzD=−216=−18z = \frac{D_z}{D} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}

    নির্ণেয় সমাধান: (x,y,z)=(158,−54,−18)(x, y, z) = \left(\frac{15}{8}, -\frac{5}{4}, -\frac{1}{8}\right)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন