∫01dx2x−x2=? \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} = ?

Question

Accepted Answer

ক. π2 \frac{\pi}{2}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট সমাকলনটি হলো:
$$I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}}$$

রুটের ভেতরের রাশিটিকে পূর্ণবর্গ আকারে সাজিয়ে পাই:
$$2x - x^2 = 1 - (x^2 - 2x + 1) = 1 - (x - 1)^2$$

সুতরাং,
$$I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1^2 - (x - 1)^2}}$$

আমরা জানি, $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$
অতএব,
$$I = \left[ \sin^{-1}(x - 1) \right]_0^1$$
$$= \sin^{-1}(1 - 1) - \sin^{-1}(0 - 1)$$
$$= \sin^{-1}(0) - \sin^{-1}(-1)$$
$$= 0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$$

অতএব, নির্ণেয় মান হলো $\frac{\pi}{2}$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন