উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ:
   $\frac{1}{x} + \frac{1}{p - x} = \frac{1}{q}$

   $p = 1, q = 1$ হলে,
   $\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} = 1$
   $\Rightarrow \frac{1 - x + x}{x(1 - x)} = 1$
   $\Rightarrow \frac{1}{x - x^2} = 1$
   $\Rightarrow x - x^2 = 1$
   $\Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$

   এই দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চয়ক ($D$):
   $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$
   যেহেতু নিশ্চয়ক ঋণাত্মক ($D < 0$), সেহেতু সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল (বা কাল্পনিক) ও অসমান।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণটি হলো:
   $\frac{1}{x} + \frac{1}{p - x} = \frac{1}{q}$
   $\Rightarrow \frac{p - x + x}{x(p - x)} = \frac{1}{q}$
   $\Rightarrow \frac{p}{px - x^2} = \frac{1}{q}$
   $\Rightarrow px - x^2 = pq$
   $\Rightarrow x^2 - px + pq = 0$ ... (i)

   ধরি, সমীকরণ (i) এর মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$।
   তাহলে,
   $\alpha + \beta = p$
   $\alpha\beta = pq$

   প্রশ্নমতে, মূলদ্বয়ের অন্তর $r$:
   $|\alpha - \beta| = r$
   $\Rightarrow (\alpha - \beta)^2 = r^2$
   $\Rightarrow (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = r^2$
   $\Rightarrow p^2 - 4pq = r^2$
   বা, $p^2 - 4pq - r^2 = 0$

   এটিই $p, q$ এবং $r$ এর মধ্যে নির্ণেয় সম্পর্ক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এর দ্বিপদী রাশিটি হলো: $\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)^{20}$

   এর বিস্তৃতিতে $(r + 1)$-তম পদ:
   $T_{r+1} = \binom{20}{r} (2x^3)^{20 - r} \left(-\frac{1}{x}\right)^r$
   $= \binom{20}{r} 2^{20 - r} (x^3)^{20 - r} (-1)^r x^{-r}$
   $= \binom{20}{r} (-1)^r 2^{20 - r} x^{60 - 3r - r}$
   $= \binom{20}{r} (-1)^r 2^{20 - r} x^{60 - 4r}$

   $x^{12}$ সম্বলিত পদের জন্য,
   $60 - 4r = 12$
   $\Rightarrow 4r = 60 - 12 = 48$
   $\Rightarrow r = 12$

   অতএব, $x^{12}$ সম্বলিত পদটির সহগ হবে:
   $\binom{20}{12} (-1)^{12} 2^{20 - 12} = \binom{20}{12} \cdot 1 \cdot 2^8$

   এখানে,
   $\binom{20}{12} = \binom{20}{8} = 125970$
   $2^8 = 256$
   সহগ $= 125970 \times 256 = 32248320$

   অতএব, $x^{12}$ এর নির্ণেয় সহগ $= \binom{20}{12} 2^8$ বা $32248320$।