উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৫
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১: f1(x)=x2+2x+pf_1(x) = x^2 + 2x + p f2(x)=x2+px+2f_2(x) = x^2 + px + 2 দৃশ্যকল্প-২: g(x)=x3−5x2+17x−13g(x) = x^3 - 5x^2 + 17x - 13
- ক)(1)
x2−px+q=0x^2 - px + q = 0 সমীকরণের বাস্তব মূল থাকার শর্ত নির্ণয় কর।
- খ)(2)
f1(x)=0f_1(x) = 0 ও f2(x)=0f_2(x) = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকার শর্ত নির্ণয় কর।
- গ)(3)
g(x)=0g(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 2+3i2 + 3i হলে সমীকরণটির অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রদত্ত সমীকরণ: x² - px + q = 0
সমীকরণটির নিশ্চয়ক (Discriminant), D = (-p)² - 4(1)(q) = p² - 4qসমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হওয়ার শর্ত হলো নিশ্চয়ক অঋণাত্মক হতে হবে, অর্থাৎ:
D ≥ 0
বা, p² - 4q ≥ 0
বা, p² ≥ 4q। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে,
f₁(x) = x² + 2x + p = 0 ... (i)
f₂(x) = x² + px + 2 = 0 ... (ii)ধরি, সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল α।
তাহলে,
α² + 2α + p = 0 ... (iii)
α² + pα + 2 = 0 ... (iv)(iii) নং থেকে (iv) নং বিয়োগ করে পাই,
(2 - p)α + (p - 2) = 0
⇒ (2 - p)α - (2 - p) = 0
⇒ (2 - p)(α - 1) = 0যদি 2 - p = 0 হয়, তবে p = 2।
p = 2 হলে উভয় সমীকরণ অভিন্ন (x² + 2x + 2 = 0) হয়ে যায় এবং এদের দুটি সাধারণ মূল বিদ্যমান থাকে।যদি α - 1 = 0 হয়, তবে α = 1।
α = 1 মানটি (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
1² + 2(1) + p = 0
⇒ 1 + 2 + p = 0
⇒ p + 3 = 0
⇒ p = -3।সুতরাং, সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকার শর্ত হলো p = -3 অথবা p = 2 (যখন সাধারণ মূল α = 1 অথবা মূলদ্বয় উভয়ই অভিন্ন)।
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, g(x) = x³ - 5x² + 17x - 13 = 0 সমীকরণের একটি মূল 2 + 3i।
বাস্তব সহগবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণের জটিল মূলগুলো অনুবন্ধী যুগলে থাকে।
সুতরাং, অপর একটি জটিল মূল হবে 2 - 3i।এই মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত দ্বিঘাত রাশিটি হলো:
[x - (2 + 3i)][x - (2 - 3i)] = (x - 2)² - (3i)²
= x² - 4x + 4 - 9(-1)
= x² - 4x + 13এখন, g(x) কে (x² - 4x + 13) দ্বারা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
x³ - 5x² + 17x - 13 = 0
⇒ x(x² - 4x + 13) - 1(x² - 4x + 13) = 0
⇒ (x - 1)(x² - 4x + 13) = 0যেহেতু x² - 4x + 13 = 0 থেকে মূলদ্বয় 2 ± 3i পাওয়া যায়,
সুতরাং অপর বাস্তব মূলটি হলো:
x - 1 = 0 ⇒ x = 1অতএব, সমীকরণটির অপর মূলগুলো হলো 2 - 3i এবং 1।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও