পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সমগ্রকের বৈশিষ্ট্য পরিমাপ ও পর্যালোচনার জন্য সমগ্রক হতে বৈজ্ঞানিক পদ্ধতিতে বাছাইকৃত প্রতিনিধিত্বশীল ক্ষুদ্র অংশকে নমুনা (Sample) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   শুমারি জরিপে সমগ্রকের প্রতিটি একক থেকে তথ্য সংগ্রহ করতে হয়, যা অত্যন্ত ব্যয়বহুল ও সময়সাপেক্ষ। কিন্তু নমুনা জরিপে সমগ্রক থেকে বৈজ্ঞানিক পদ্ধতিতে কিছু প্রতিনিধিত্বশীল একক নির্বাচন করে কেবল সেগুলোর ওপর তথ্য সংগ্রহ ও বিশ্লেষণ করা হয়। তদন্তাধীন এককের সংখ্যা কম হওয়ায় তথ্য সংগ্রহ, প্রক্রিয়াকরণ ও ফলাফলে অনেক কম জনবল ও সময়ের প্রয়োজন হয়। ফলে নমুনা জরিপে সময় ও খরচ উভয়ই অনেক কম লাগে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, সমগ্রকের মানসমূহ: $N = 4$ এবং মানগুলো হলো $3, 5, 7, 9$।

   সমগ্রক গড়:
   $\mu = \frac{\sum X}{N} = \frac{3 + 5 + 7 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6$

   সমগ্রকের ভেদাঙ্ক ($\sigma^2$):
   $\sigma^2 = \frac{\sum (X - \mu)^2}{N}$
   $= \frac{(3 - 6)^2 + (5 - 6)^2 + (7 - 6)^2 + (9 - 6)^2}{4}$
   $= \frac{(-3)^2 + (-1)^2 + (1)^2 + (3)^2}{4}$
   $= \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = \frac{20}{4} = 5$

   অতএব, সমগ্রকের ভেদাঙ্ক হলো ৫।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সমগ্রকের আকার $N = 4$ এবং নমুনা আকার $n = 2$।
   পুনঃস্থাপন সহকারে মোট সম্ভাব্য নমুনার সংখ্যা $= N^n = 4^2 = 16$টি।

   সম্ভাব্য নমুনাগুলো এবং তাদের গড় ($\bar{x}$) নিম্নরূপ:

   1. (3, 3) $\rightarrow \bar{x} = 3$
   2. (3, 5) $\rightarrow \bar{x} = 4$
   3. (3, 7) $\rightarrow \bar{x} = 5$
   4. (3, 9) $\rightarrow \bar{x} = 6$
   5. (5, 3) $\rightarrow \bar{x} = 4$
   6. (5, 5) $\rightarrow \bar{x} = 5$
   7. (5, 7) $\rightarrow \bar{x} = 6$
   8. (5, 9) $\rightarrow \bar{x} = 7$
   9. (7, 3) $\rightarrow \bar{x} = 5$
   10. (7, 5) $\rightarrow \bar{x} = 6$
   11. (7, 7) $\rightarrow \bar{x} = 7$
   12. (7, 9) $\rightarrow \bar{x} = 8$
   13. (9, 3) $\rightarrow \bar{x} = 6$
   14. (9, 5) $\rightarrow \bar{x} = 7$
   15. (9, 7) $\rightarrow \bar{x} = 8$
   16. (9, 9) $\rightarrow \bar{x} = 9$

   নমুনা গড়গুলোর সমষ্টি:
   $\sum \bar{x} = 3 + 4 + 5 + 6 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 + 6 + 7 + 8 + 6 + 7 + 8 + 9 = 96$

   নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান:
   $E(\bar{x}) = \frac{\sum \bar{x}}{16} = \frac{96}{16} = 6$

   আবার, 'গ' হতে প্রাপ্ত সমগ্রক গড় $\mu = 6$।

   যেহেতু $E(\bar{x}) = \mu = 6$, সেহেতু নমুনা গড় ($\bar{x}$) হলো সমগ্রক গড় ($\mu$)-এর একটি নিরপেক্ষ নিরূপক।