উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = x^2$
   $\therefore f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$

   প্রদত্ত রাশি,
   $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - x^2}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x + 0 = 2x$ (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ থেকে,
   $m \cot^{-1} x = \cot^{-1} y$
   $\Rightarrow y = \cot(m \cot^{-1} x)$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_1 = -\csc^2(m \cot^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(m \cot^{-1} x)$
   $= -[1 + \cot^2(m \cot^{-1} x)] \cdot \left[ -\frac{m}{1 + x^2} \right]$
   $= (1 + y^2) \cdot \frac{m}{1 + x^2}$
   $\Rightarrow (1 + x^2) y_1 = m(1 + y^2)$

   পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $(1 + x^2) y_2 + 2x y_1 = m \cdot 2y y_1$
   $\Rightarrow (1 + x^2) y_2 + 2x y_1 - 2m y y_1 = 0$
   $\Rightarrow (1 + x^2) y_2 - 2(m y - x) y_1 = 0$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ থেকে,
   $f(x) = x - x^2 - x^3$
   $\therefore f'(x) = 1 - 2x - 3x^2$
   এবং $f''(x) = -2 - 6x$

   চরমমানের জন্য, $f'(x) = 0$
   $\Rightarrow 1 - 2x - 3x^2 = 0$
   $\Rightarrow 3x^2 + 2x - 1 = 0$
   $\Rightarrow 3x^2 + 3x - x - 1 = 0$
   $\Rightarrow 3x(x + 1) - 1(x + 1) = 0$
   $\Rightarrow (x + 1)(3x - 1) = 0$
   $\therefore x = -1, \frac{1}{3}$

   যখন $x = -1$:
   $f''(-1) = -2 - 6(-1) = 4 > 0$
   সুতরাং, $x = -1$-এ লঘিষ্ঠ (সর্বনিম্ন) মান বিদ্যমান।
   লঘিষ্ঠ মান, $f(-1) = (-1) - (-1)^2 - (-1)^3 = -1 - 1 + 1 = -1$

   যখন $x = \frac{1}{3}$:
   $f''\left(\frac{1}{3}\right) = -2 - 6\left(\frac{1}{3}\right) = -4 < 0$
   সুতরাং, $x = \frac{1}{3}$-এ গুরুষ্ঠ (সর্বোচ্চ) মান বিদ্যমান।
   গুরুষ্ঠ মান, $f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} - \frac{1}{9} - \frac{1}{27} = \frac{9 - 3 - 1}{27} = \frac{5}{27}$

   অতএব, $f(x)$-এর চরমমানসমূহ হলো গুরুষ্ঠ মান $\frac{5}{27}$ এবং লঘিষ্ঠ মান $-1$।