উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $x = \sqrt[3]{1}$
   $\Rightarrow x^3 = 1$
   $\Rightarrow x^3 - 1 = 0$
   $\Rightarrow (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

   হয়, $x - 1 = 0 \implies x = 1$
   অথবা,
   $x^2 + x + 1 = 0$
   $\Rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

   অতএব, এককের ঘনমূল তিনটি হলো: $1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $z = x + iy$
   সমীকরণ (i): $|z + 5| + |z - 5| = 15$
   $\Rightarrow |(x + 5) + iy| + |(x - 5) + iy| = 15$
   $\Rightarrow \sqrt{(x + 5)^2 + y^2} + \sqrt{(x - 5)^2 + y^2} = 15$
   $\Rightarrow \sqrt{(x + 5)^2 + y^2} = 15 - \sqrt{(x - 5)^2 + y^2}$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(x + 5)^2 + y^2 = 225 - 30\sqrt{(x - 5)^2 + y^2} + (x - 5)^2 + y^2$
   $\Rightarrow x^2 + 10x + 25 + y^2 = 225 - 30\sqrt{(x - 5)^2 + y^2} + x^2 - 10x + 25 + y^2$
   $\Rightarrow 20x - 225 = -30\sqrt{(x - 5)^2 + y^2}$
   $\Rightarrow 5(4x - 45) = -30\sqrt{(x - 5)^2 + y^2}$
   $\Rightarrow 4x - 45 = -6\sqrt{(x - 5)^2 + y^2}$

   পুনরায় উভয়পক্ষ বর্গ করে পাই,
   $(4x - 45)^2 = 36[(x - 5)^2 + y^2]$
   $\Rightarrow 16x^2 - 360x + 2025 = 36(x^2 - 10x + 25 + y^2)$
   $\Rightarrow 16x^2 - 360x + 2025 = 36x^2 - 360x + 900 + 36y^2$
   $\Rightarrow 20x^2 + 36y^2 = 1125$
   $\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1125}{20}} + \frac{y^2}{\frac{1125}{36}} = 1$
   $\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{225}{4}} + \frac{y^2}{\frac{125}{4}} = 1$
   যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।

   উত্তর: নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ $20x^2 + 36y^2 = 1125$ বা $\frac{x^2}{\frac{225}{4}} + \frac{y^2}{\frac{125}{4}} = 1$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে অসমতাটি:
   $\frac{2x+3}{x-3} < \frac{x+3}{x-1}$
   $\Rightarrow \frac{2x+3}{x-3} - \frac{x+3}{x-1} < 0$
   $\Rightarrow \frac{(2x+3)(x-1) - (x+3)(x-3)}{(x-3)(x-1)} < 0$
   $\Rightarrow \frac{(2x^2 + x - 3) - (x^2 - 9)}{(x-3)(x-1)} < 0$
   $\Rightarrow \frac{x^2 + x + 6}{(x-3)(x-1)} < 0$

   লব বিবেচনা করি:
   $x^2 + x + 6 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{23}{4}$
   যেহেতু যেকোনো বাস্তব $x$-এর জন্য $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$, তাই $x^2 + x + 6 > 0$ (সর্বদা ধনাত্মক)।

   অতএব, ভগ্নাংশটি ঋণাত্মক হতে হলে হরকে ঋণাত্মক হতে হবে:
   $(x - 3)(x - 1) < 0$
   $\Rightarrow 1 < x < 3$

   সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: $1 < x < 3$ বা $x \in (1, 3)$।

   সংখ্যারেখায় প্রদর্শন:
   সংখ্যারেখায় $1$ এবং $3$ বিন্দুতে খোলা বৃত্ত (open circle) একে তাদের মধ্যবর্তী অংশকে গাঢ় রেখা দ্বারা চিহ্নিত করতে হবে:
   <---o===================o--->
   1 3