উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

10x2−8x+1=0 10 x^{2}-8 x+1=0 এবং 2x3−3x2+4x−1=0 2 x^{3}-3 x^{2}+4 x-1=0 দুইটি বহুপদী সমীকরণ।

  1. ক)

    3x2+2x+1=0 3 x^{2}+2 x+1=0 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় হবে উদ্দীপকে উল্লিখিত দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল ও অন্তরফলের যোগবোধক মান ।

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ \alpha, \beta, \gamma হলে ∑α2β \sum \alpha^{2} \beta এর মান নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: 3x2+2x+1=03x^2 + 2x + 1 = 0
    এখানে, a=3,b=2,c=1a = 3, b = 2, c = 1

    প্রদত্ত সমীকরণের নিশ্চয়ক (Discriminant), D=b2−4acD = b^2 - 4ac
    =22−4(3)(1)= 2^2 - 4(3)(1)
    =4−12= 4 - 12
    =−8<0= -8 < 0

    যেহেতু নিশ্চয়ক ঋণাত্মক, তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল (অবাস্তব) ও অসমান।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
    10x2−8x+1=010x^2 - 8x + 1 = 0

    ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় mm এবং nn (m>nm > n)।
    মূলদ্বয়ের যোগফল, m+n=−−810=45m + n = -\frac{-8}{10} = \frac{4}{5}
    মূলদ্বয়ের গুণফল, mn=110mn = \frac{1}{10}

    মূলদ্বয়ের অন্তরফলের যোগবোধক মান:
    ∣m−n∣=(m+n)2−4mn|m - n| = \sqrt{(m + n)^2 - 4mn}
    =(45)2−4(110)= \sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{10}\right)}
    =1625−25= \sqrt{\frac{16}{25} - \frac{2}{5}}
    =16−1025=625=65= \sqrt{\frac{16 - 10}{25}} = \sqrt{\frac{6}{25}} = \frac{\sqrt{6}}{5}

    নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় হবে: α′=m+n=45\alpha' = m + n = \frac{4}{5} এবং β′=∣m−n∣=65\beta' = |m - n| = \frac{\sqrt{6}}{5}

    নতুন মূলদ্বয়ের যোগফল:
    α′+β′=45+65=4+65\alpha' + \beta' = \frac{4}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5} = \frac{4 + \sqrt{6}}{5}

    নতুন মূলদ্বয়ের গুণফল:
    α′β′=45⋅65=4625\alpha' \beta' = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{6}}{5} = \frac{4\sqrt{6}}{25}

    অতএব, নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
    x2−(α′+β′)x+α′β′=0x^2 - (\alpha' + \beta')x + \alpha' \beta' = 0
      ⟹  x2−(4+65)x+4625=0\implies x^2 - \left(\frac{4 + \sqrt{6}}{5}\right)x + \frac{4\sqrt{6}}{25} = 0
    উভয়পক্ষকে 2525 দ্বারা গুণ করে পাই:
    25x2−5(4+6)x+46=025x^2 - 5(4 + \sqrt{6})x + 4\sqrt{6} = 0

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকে প্রদত্ত ত্রিঘাত সমীকরণ:
    2x3−3x2+4x−1=02x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = 0

    যেহেতু এই সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma, তাই মূল ও সহগের সম্পর্ক থেকে পাই:
    ∑α=α+β+γ=−−32=32\sum \alpha = \alpha + \beta + \gamma = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}
    ∑αβ=αβ+βγ+γα=42=2\sum \alpha\beta = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{4}{2} = 2
    αβγ=−−12=12\alpha\beta\gamma = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}

    এখন, ∑α2β=α2β+α2γ+β2α+β2γ+γ2α+γ2β\sum \alpha^2 \beta = \alpha^2 \beta + \alpha^2 \gamma + \beta^2 \alpha + \beta^2 \gamma + \gamma^2 \alpha + \gamma^2 \beta

    আমরা জানি,
    (∑α)(∑αβ)=(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)(\sum \alpha)(\sum \alpha\beta) = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)
    =α2β+αβγ+γα2+αβ2+β2γ+αβγ+αβγ+βγ2+γ2α= \alpha^2 \beta + \alpha\beta\gamma + \gamma\alpha^2 + \alpha\beta^2 + \beta^2 \gamma + \alpha\beta\gamma + \alpha\beta\gamma + \beta\gamma^2 + \gamma^2 \alpha
    =(α2β+α2γ+β2α+β2γ+γ2α+γ2β)+3αβγ= (\alpha^2 \beta + \alpha^2 \gamma + \beta^2 \alpha + \beta^2 \gamma + \gamma^2 \alpha + \gamma^2 \beta) + 3\alpha\beta\gamma
    =∑α2β+3αβγ= \sum \alpha^2 \beta + 3\alpha\beta\gamma

    অতএব,
    ∑α2β=(∑α)(∑αβ)−3αβγ\sum \alpha^2 \beta = (\sum \alpha)(\sum \alpha\beta) - 3\alpha\beta\gamma
    =(32)(2)−3(12)= \left(\frac{3}{2}\right)(2) - 3\left(\frac{1}{2}\right)
    =3−32= 3 - \frac{3}{2}
    =32= \frac{3}{2}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন