উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১:
দৃশ্যকল্প-২: দুটি অসদৃশ সমান্তরাল বল 1010 একক এবং 33 একক যথাক্রমে একটি বস্তুর A ও B বিন্দুতে ক্রিয়া করছে।

  1. ক)

    কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত PP ও 2P2P মানের বলদ্বয়ের লব্ধি যদি PP এর ক্রিয়ারেখার উপর লম্ব হয় তবে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর এক বিন্দুতে ক্রিয়াশীল P,Q,RP, Q, R বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রমাণ কর যে, R2=Q(Q−P)R^2 = Q(Q - P).

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এ যদি AB=aAB = a একক এবং উভয় বলকে যদি xx পরিমাণ বৃদ্ধি করা হয় তাহলে দেখাও যে, তাদের লব্ধি ax7\frac{ax}{7} দূরত্বে সরে যাবে।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α\alpha এবং লব্ধি RR, PP বলের সাথে 90∘90^\circ কোণ উৎপন্ন করে।
    আমরা জানি,
    tan⁡90∘=2Psin⁡αP+2Pcos⁡α\tan 90^\circ = \frac{2P \sin \alpha}{P + 2P \cos \alpha}
    বা, 10=2Psin⁡αP+2Pcos⁡α\frac{1}{0} = \frac{2P \sin \alpha}{P + 2P \cos \alpha}
    বা, P+2Pcos⁡α=0P + 2P \cos \alpha = 0
    বা, 2Pcos⁡α=−P2P \cos \alpha = -P
    বা, cos⁡α=−12=cos⁡120∘\cos \alpha = -\frac{1}{2} = \cos 120^\circ
    ∴α=120∘\therefore \alpha = 120^\circ

    অতএব, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 120∘120^\circ।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ এর চিত্রানুযায়ী,
    P,Q,RP, Q, R বলত্রয় OO বিন্দুতে ক্রিয়াশীল এবং সাম্যাবস্থায় রয়েছে।
    চিত্র থেকে,
    PP ও QQ বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ, ∠AOB=2α\angle AOB = 2\alpha
    PP ও RR বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ, ∠AOC=α\angle AOC = \alpha
    ∴Q\therefore Q ও RR বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ, ∠BOC=360∘−(2α+α)=360∘−3α\angle BOC = 360^\circ - (2\alpha + \alpha) = 360^\circ - 3\alpha

    লামির উপপাদ্য অনুসারে,
    Psin⁡(360∘−3α)=Qsin⁡α=Rsin⁡2α\frac{P}{\sin(360^\circ - 3\alpha)} = \frac{Q}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin 2\alpha}
    বা, P−sin⁡3α=Qsin⁡α=Rsin⁡2α\frac{P}{-\sin 3\alpha} = \frac{Q}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin 2\alpha}

    এখানে,
    Qsin⁡α=Rsin⁡2α\frac{Q}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin 2\alpha}
    বা, Qsin⁡α=R2sin⁡αcos⁡α\frac{Q}{\sin \alpha} = \frac{R}{2\sin \alpha \cos \alpha}
    বা, cos⁡α=R2Q\cos \alpha = \frac{R}{2Q}

    আবার,
    P−sin⁡3α=Qsin⁡α\frac{P}{-\sin 3\alpha} = \frac{Q}{\sin \alpha}
    বা, −PQ=sin⁡3αsin⁡α=3sin⁡α−4sin⁡3αsin⁡α=3−4sin⁡2α=3−4(1−cos⁡2α)=4cos⁡2α−1-\frac{P}{Q} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = \frac{3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha}{\sin \alpha} = 3 - 4\sin^2 \alpha = 3 - 4(1 - \cos^2 \alpha) = 4\cos^2 \alpha - 1
    বা, 4cos⁡2α=1−PQ=Q−PQ4\cos^2 \alpha = 1 - \frac{P}{Q} = \frac{Q - P}{Q}

    cos⁡α\cos \alpha এর মান বসিয়ে পাই,
    4(R2Q)2=Q−PQ4 \left(\frac{R}{2Q}\right)^2 = \frac{Q - P}{Q}
    বা, 4⋅R24Q2=Q−PQ4 \cdot \frac{R^2}{4Q^2} = \frac{Q - P}{Q}
    বা, R2Q2=Q−PQ\frac{R^2}{Q^2} = \frac{Q - P}{Q}
    বা, R2=Q(Q−P)R^2 = Q(Q - P) (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, AA ও BB বিন্দুতে যথাক্রমে P=10P = 10 একক এবং Q=3Q = 3 একক মানের দুটি অসদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল।
    যেহেতু P>QP > Q, তাই লব্ধি বলের ক্রিয়া রেখা ABAB এর বর্ধিতাংশের উপর AA এর নিকটবর্তী কোনো বিন্দু CC-তে অবস্থিত হবে।
    এখানে, AB=aAB = a।
    সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী,
    P⋅AC=Q⋅BCP \cdot AC = Q \cdot BC
    বা, 10⋅AC=3(AB+AC)=3(a+AC)10 \cdot AC = 3(AB + AC) = 3(a + AC)
    বা, 10⋅AC=3a+3⋅AC10 \cdot AC = 3a + 3 \cdot AC
    বা, 7⋅AC=3a7 \cdot AC = 3a
    বা, AC=3a7AC = \frac{3a}{7}

    এখন উভয় বলের মান xx পরিমাণ বৃদ্ধি করা হলে নতুন বলদ্বয় হবে যথাক্রমে (10+x)(10 + x) এবং (3+x)(3 + x) একক।
    ধরি, নতুন লব্ধি ABAB রেখার বর্ধিতাংশের উপর C′C' বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
    অতএব,
    (10+x)AC′=(3+x)BC′=(3+x)(a+AC′)(10 + x) AC' = (3 + x) BC' = (3 + x)(a + AC')
    বা, (10+x)AC′=(3+x)a+(3+x)AC′(10 + x) AC' = (3 + x)a + (3 + x) AC'
    বা, (10+x−3−x)AC′=(3+x)a(10 + x - 3 - x) AC' = (3 + x)a
    বা, 7⋅AC′=(3+x)a7 \cdot AC' = (3 + x)a
    বা, AC′=(3+x)a7=3a+ax7AC' = \frac{(3 + x)a}{7} = \frac{3a + ax}{7}

    অতএব, লব্ধির সরণ:
    CC′=AC′−AC=3a+ax7−3a7=ax7CC' = AC' - AC = \frac{3a + ax}{7} - \frac{3a}{7} = \frac{ax}{7}

    সুতরাং, তাদের লব্ধি ax7\frac{ax}{7} দূরত্বে সরে যাবে (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন