উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x
g(x,y)=9x2+25y2−225g(x, y) = 9x^2 + 25y^2 - 225
h(x)=x−3h(x) = x - 3

  1. ক)

    ∫(4−3x)32dx\int (4 - 3x)^{\frac{3}{2}} dx এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    ∫0π2{f(x)}2f(3x)dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} {f(x)}^2 f(3x) dx এর মান নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    g(x,y)=0g(x, y) = 0 এবং h(x)=0h(x) = 0 দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    I=∫(4−3x)32dxI = \int (4 - 3x)^{\frac{3}{2}} dx
    ধরি, 4−3x=z4 - 3x = z
      ⟹  −3dx=dz  ⟹  dx=−13dz\implies -3 dx = dz \implies dx = -\frac{1}{3} dz

    অতএব,
    I=∫z32(−13)dz=−13⋅z32+132+1+cI = \int z^{\frac{3}{2}} \left(-\frac{1}{3}\right) dz = -\frac{1}{3} \cdot \frac{z^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + c
    =−13⋅z5252+c=−13⋅25z52+c=−215(4−3x)52+c= -\frac{1}{3} \cdot \frac{z^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + c = -\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} z^{\frac{5}{2}} + c = -\frac{2}{15}(4 - 3x)^{\frac{5}{2}} + c

    উত্তর: −215(4−3x)52+c-\frac{2}{15}(4 - 3x)^{\frac{5}{2}} + c

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x
    অতএব, f(3x)=sin⁡3xf(3x) = \sin 3x
    নির্ণেয় যোগজ:
    I=∫0π2{f(x)}2f(3x)dx=∫0π2sin⁡2xsin⁡3x dxI = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \{f(x)\}^2 f(3x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \sin 3x \, dx

    আমরা জানি, 2sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = 1 - \cos 2x
    I=12∫0π2(2sin⁡2x)sin⁡3x dxI = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2\sin^2 x) \sin 3x \, dx
    =12∫0π2(1−cos⁡2x)sin⁡3x dx= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \sin 3x \, dx
    =12∫0π2sin⁡3x dx−12∫0π2sin⁡3xcos⁡2x dx= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 3x \, dx - \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 3x \cos 2x \, dx
    =12∫0π2sin⁡3x dx−14∫0π22sin⁡3xcos⁡2x dx= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 3x \, dx - \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sin 3x \cos 2x \, dx

    যেহেতু 2sin⁡Acos⁡B=sin⁡(A+B)+sin⁡(A−B)2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B):
    2sin⁡3xcos⁡2x=sin⁡5x+sin⁡x2\sin 3x \cos 2x = \sin 5x + \sin x

    অতএব,
    I=12[−cos⁡3x3]0π2−14∫0π2(sin⁡5x+sin⁡x)dxI = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos 3x}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin 5x + \sin x) dx
    =−16[cos⁡(3π2)−cos⁡0]−14[−cos⁡5x5−cos⁡x]0π2= -\frac{1}{6} \left[ \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) - \cos 0 \right] - \frac{1}{4} \left[ -\frac{\cos 5x}{5} - \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}}
    =−16[0−1]+14[cos⁡5x5+cos⁡x]0π2= -\frac{1}{6} [0 - 1] + \frac{1}{4} \left[ \frac{\cos 5x}{5} + \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}}
    =16+14[(cos⁡5π25+cos⁡π2)−(cos⁡05+cos⁡0)]= \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{\cos\frac{5\pi}{2}}{5} + \cos\frac{\pi}{2} \right) - \left( \frac{\cos 0}{5} + \cos 0 \right) \right]
    =16+14[(0+0)−(15+1)]= \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \left[ (0 + 0) - \left(\frac{1}{5} + 1\right) \right]
    =16+14(−65)= \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \left( -\frac{6}{5} \right)
    =16−310=5−930=−430=−215= \frac{1}{6} - \frac{3}{10} = \frac{5 - 9}{30} = -\frac{4}{30} = -\frac{2}{15}

    উত্তর: −215-\frac{2}{15}

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    g(x,y)=9x2+25y2−225=0g(x, y) = 9x^2 + 25y^2 - 225 = 0
      ⟹  9x2225+25y2225=1  ⟹  x252+y232=1\implies \frac{9x^2}{225} + \frac{25y^2}{225} = 1 \implies \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1
    এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ, যার বৃহৎ অক্ষ xx-অক্ষ বরাবর এবং শীর্ষবিন্দুদ্বয় (±5,0)(\pm 5, 0)।

    অপর সমীকরণ, h(x)=x−3=0  ⟹  x=3h(x) = x - 3 = 0 \implies x = 3, যা yy-অক্ষের সমান্তরাল একটি সরলরেখা।

    x=3x = 3 সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে দুটি অংশে বিভক্ত করে। ক্ষুদ্রতর অংশটি x=3x = 3 থেকে x=5x = 5 পর্যন্ত বিস্তৃত।

    উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে পাই,
    25y2=225−9x2  ⟹  y2=925(25−x2)  ⟹  y=3525−x225y^2 = 225 - 9x^2 \implies y^2 = \frac{9}{25}(25 - x^2) \implies y = \frac{3}{5}\sqrt{25 - x^2}

    প্রতিসাম্যতার কারণে আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল:
    A=2∫35y dx=2×35∫3552−x2 dxA = 2 \int_3^5 y \, dx = 2 \times \frac{3}{5} \int_3^5 \sqrt{5^2 - x^2} \, dx
    =65[x25−x22+252sin⁡−1(x5)]35= \frac{6}{5} \left[ \frac{x\sqrt{25-x^2}}{2} + \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) \right]_3^5
    =65[(0+252sin⁡−1(1))−(325−92+252sin⁡−1(35))]= \frac{6}{5} \left[ \left( 0 + \frac{25}{2}\sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{3\sqrt{25-9}}{2} + \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \right) \right]
    =65[252⋅π2−3×42−252sin⁡−1(35)]= \frac{6}{5} \left[ \frac{25}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{3 \times 4}{2} - \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \right]
    =65[25π4−6−252sin⁡−1(35)]= \frac{6}{5} \left[ \frac{25\pi}{4} - 6 - \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \right]
    =15π2−365−15sin⁡−1(35) বর্গ একক= \frac{15\pi}{2} - \frac{36}{5} - 15\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \text{ বর্গ একক}

    উত্তর: 15π2−365−15sin⁡−1(35)\frac{15\pi}{2} - \frac{36}{5} - 15\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) বর্গ একক (বা প্রায় 1.9961.996 বর্গ একক)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন