উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $A + B + C = \pi$
   $\Rightarrow A + B = \pi - C$

   বামপক্ষ $= \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= \frac{1}{2} [2\cos^2 A + 2\cos^2 B] + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= \frac{1}{2} [(1 + \cos 2A) + (1 + \cos 2B)] + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= \frac{1}{2} [2 + (\cos 2A + \cos 2B)] + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 + \frac{1}{2} [2\cos(A+B)\cos(A-B)] + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 + \cos(\pi - C)\cos(A-B) + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 - \cos C \cos(A-B) + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 - \cos C [\cos(A-B) - \cos C] + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 - \cos C [\cos(A-B) - \cos(\pi - (A+B))] + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 - \cos C [\cos(A-B) + \cos(A+B)] + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 - \cos C [2\cos A \cos B] + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 - 2\cos A \cos B \cos C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 =$ ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক ও চিত্রানুযায়ী,
   বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = OA = OB = OC = 2$ একক।
   দেওয়া আছে, $\angle AOC = 90^\circ$ এবং চিত্রানুযায়ী $\angle AOB = 30^\circ$।
   অতএব, ছায়াঘেরা বৃত্তাংশের জন্য উৎপন্ন কোণ,
   $\theta = \angle BOC = \angle AOC - \angle AOB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ রেডিয়ান।

   ছায়াঘেরা অংশটি হলো বৃত্তকলা $OBC$ এবং ত্রিভুজ $\Delta OBC$-এর মধ্যবর্তী বৃত্তাংশ ক্ষেত্রফল।

   বৃত্তকলা $OBC$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} r^2 \theta$
   $= \frac{1}{2} \times 2^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ বর্গ একক।

   $\Delta OBC$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times OB \times OC \times \sin(\angle BOC)$
   $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin 60^\circ = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ বর্গ একক।

   অতএব, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল $= \text{বৃত্তকলা } OBC\text{-এর ক্ষেত্রফল} - \text{ত্রিভুজ } OBC\text{-এর ক্ষেত্রফল}$
   $= \left(\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}\right)$ বর্গ একক
   $\approx 2.0944 - 1.7321 = 0.362$ বর্গ একক (প্রায়)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $P = \tan \theta \tan 2\theta \tan 5\theta$
   এবং $\theta = 40^\circ$

   অতএব,
   $P = \tan 40^\circ \tan 80^\circ \tan 200^\circ$
   আমরা জানি, $\tan 200^\circ = \tan(180^\circ + 20^\circ) = \tan 20^\circ$
   সুতরাং,
   $P = \tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ$
   $= \frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}$

   লবের মান নির্ণয়:
   $\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{2} [2\sin 40^\circ \sin 20^\circ] \sin 80^\circ$
   $= \frac{1}{2} [\cos(40^\circ - 20^\circ) - \cos(40^\circ + 20^\circ)] \sin 80^\circ$
   $= \frac{1}{2} [\cos 20^\circ - \cos 60^\circ] \sin 80^\circ$
   $= \frac{1}{2} \left[\cos 20^\circ - \frac{1}{2}\right] \sin 80^\circ$
   $= \frac{1}{4} [2\cos 20^\circ \sin 80^\circ - \sin 80^\circ]$
   $= \frac{1}{4} [\sin(80^\circ + 20^\circ) + \sin(80^\circ - 20^\circ) - \sin 80^\circ]$
   $= \frac{1}{4} [\sin 100^\circ + \sin 60^\circ - \sin 80^\circ]$
   যেহেতু $\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$, তাই:
   $= \frac{1}{4} [\sin 80^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin 80^\circ] = \frac{\sqrt{3}}{8}$

   হরের মান নির্ণয়:
   $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{2} [2\cos 40^\circ \cos 20^\circ] \cos 80^\circ$
   $= \frac{1}{2} [\cos 60^\circ + \cos 20^\circ] \cos 80^\circ$
   $= \frac{1}{2} \left[\frac{1}{2} + \cos 20^\circ\right] \cos 80^\circ$
   $= \frac{1}{4} [\cos 80^\circ + 2\cos 80^\circ \cos 20^\circ]$
   $= \frac{1}{4} [\cos 80^\circ + \cos 100^\circ + \cos 60^\circ]$
   যেহেতু $\cos 100^\circ = \cos(180^\circ - 80^\circ) = -\cos 80^\circ$, তাই:
   $= \frac{1}{4} [\cos 80^\circ - \cos 80^\circ + \frac{1}{2}] = \frac{1}{8}$

   অতএব,
   $P = \frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{1}{8}} = \sqrt{3}$ (প্রমাণিত)।