**7.**

যদি F(x)=∣f(x)ϕ(x)g(x)ϕ(x)∣ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, F(x+h)−F(x)=∣f(x+h)−f(x)ϕ(x+h)g(x+h)−g(x)ϕ(x+h)∣+∣f(x)ϕ(x+h)−ϕ(x)g(x)ϕ(x+h)−ϕ(x)∣ \begin{array}{l} ext { যদি } F(x)=\left|\begin{array}{ll}f(x) & \phi(x) \ g(x) & \phi(x)\end{array} ight| ext { হয়, তবে প্রমাণ কর যে, } F(x+h)-F(x)= \ \left|\begin{array}{cc}f(x+h)-f(x) & \phi(x+h) \ g(x+h)-g(x) & \phi(x+h)\end{array} ight|+\left|\begin{array}{ll}f(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \ g(x) & \phi(x+h)-\phi(x)\end{array} ight|\end{array}

Question

**7.**

যদি F(x)=∣f(x)ϕ(x)g(x)ϕ(x)∣ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, F(x+h)−F(x)=∣f(x+h)−f(x)ϕ(x+h)g(x+h)−g(x)ϕ(x+h)∣+∣f(x)ϕ(x+h)−ϕ(x)g(x)ϕ(x+h)−ϕ(x)∣ \begin{array}{l}	ext { যদি } F(x)=\left|\begin{array}{ll}f(x) & \phi(x) \ g(x) & \phi(x)\end{array}ight| 	ext { হয়, তবে প্রমাণ কর যে, } F(x+h)-F(x)= \ \left|\begin{array}{cc}f(x+h)-f(x) & \phi(x+h) \ g(x+h)-g(x) & \phi(x+h)\end{array}ight|+\left|\begin{array}{ll}f(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \ g(x) & \phi(x+h)-\phi(x)\end{array}ight|\end{array}

Accepted Answer

AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

দেওয়া আছে,
$$F(x) = \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x) \ g(x) & \phi(x) \end{vmatrix}$$

অতএব,
$$F(x+h) = \begin{vmatrix} f(x+h) & \phi(x+h) \ g(x+h) & \phi(x+h) \end{vmatrix}$$

বামপক্ষ (L.H.S.):
$$F(x+h) - F(x) = \begin{vmatrix} f(x+h) & \phi(x+h) \ g(x+h) & \phi(x+h) \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x) \ g(x) & \phi(x) \end{vmatrix}$$

ডানপক্ষ (R.H.S.):
$$	ext{R.H.S.} = \begin{vmatrix} f(x+h)-f(x) & \phi(x+h) \ g(x+h)-g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \ g(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \end{vmatrix}$$

নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী, কোনো কলামের পদগুলো দুটি পদের বিয়োগফল হিসেবে থাকলে নির্ণায়কটিকে দুটি নির্ণায়কের বিয়োগফল আকারে প্রকাশ করা যায়।

প্রথম নির্ণায়কটি ভেঙে পাই:
$$\begin{vmatrix} f(x+h)-f(x) & \phi(x+h) \ g(x+h)-g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} f(x+h) & \phi(x+h) \ g(x+h) & \phi(x+h) \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h) \ g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix}$$

দ্বিতীয় নির্ণায়কটি ভেঙে পাই:
$$\begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \ g(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h) \ g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x) \ g(x) & \phi(x) \end{vmatrix}$$

সুতরাং,
$$	ext{R.H.S.} = \left[ \begin{vmatrix} f(x+h) & \phi(x+h) \ g(x+h) & \phi(x+h) \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h) \ g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix} ight] + \left[ \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h) \ g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x) \ g(x) & \phi(x) \end{vmatrix} ight]$$

$$= \begin{vmatrix} f(x+h) & \phi(x+h) \ g(x+h) & \phi(x+h) \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x) \end{vmatrix}$$
$$= F(x+h) - F(x) = 	ext{L.H.S.}$$

$	herefore F(x+h) - F(x) = \begin{vmatrix} f(x+h)-f(x) & \phi(x+h) \ g(x+h)-g(x) & \phi(x+h) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} f(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \ g(x) & \phi(x+h)-\phi(x) \end{vmatrix}$$ (প্রমাণিত)।

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন

গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন